Diskussion:Skalarprodukt

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Wie ich dem Diskussionsarchiv entnommen habe, gab es bezüglich der Frage, ob das komplexe Skalarprodukt in der ersten oder zweiten Komponente linear sein soll, bereits Uneinigkeit. Offenbar hat man sich darauf geeinigt, Linearität in der zweiten Komponente zu wählen. Da beides funktioniert, könnte man damit ja auch zufrieden sein. Aber dann sollte man als Referenzen für den Artikel nicht undbedingt zwei Bücher angeben (Rudin und Fischer), in denen es gerade anders herum gemacht wird. Zumal ich auch davon ausgehe, dass sich viele Leser des Artikels wundern werden, denn in der mir gängigen mathematischen Literatur wird durchweg Linearität in der ersten Komponente gewählt, es sei denn, das Buch oder der Artikel behandelt ein Thema aus der theoretischen oder mathematischen Physik. Dieser Wikipediaartikel aber ist ein mathematischer, kein physikalischer Artikel. Darum plädiere ich für eine Änderung. --PatrickC (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-PatrickC-2013-07-11T09:55:00.000Z-Semilinearität11Beantworten

Ich finde die Darstellung der orthogonalen Projektion etwas umständlich. Ich würde einfach kurz schreiben:

Die orthogonale Projektion von ${\displaystyle {\vec {b}}}$ auf die durch den Vektor ${\displaystyle {\vec {a}}\neq {\vec {0}}}$ gegebene Richtung ist der Vektor ${\displaystyle {\vec {b}}_{\vec {a}}=b_{a}{\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}=\left({\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {a}}|^{2}}}\right)\,{\vec {a}}}$.

Gibt es Gründe für die jetzige Version? Was haltet Ihr von meinem Vorschlag? --Mathze (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Mathze-20230117121200-orthogonale Projektion11Beantworten

Ich finde deine Version gut. Ich glaube, dass die bisherige Version von mir stammt, kann mich aber nicht erinnern, warum ich das so umständlich formuliert habe. --Digamma (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Digamma-20230117194600-Mathze-2023011712120011Beantworten

Mir ist bei der geometrischen Definition des Skalarprodukts aufgefallen, dass der Winkel ${\displaystyle \varphi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})}$ gar nicht (zumindest nicht elementargeometrisch) definiert ist, wenn einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist. Ist das ein Problem? Müsste man, wenn man es ganz sauber macht, eine Fallunterscheidung bei der Definition vornehmen: Für ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\neq {\vec {0}}}$ wird das Skalarprodukt wie gehabt definiert, ansonsten gleich Null? Oder ist das zu pingelig? Wie wird es in der Literatur gehandhabt? Im Semendjajev wird keine Fallunterscheidung vorgenommen. Was meint ihr dazu? --Mathze (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Mathze-20230120200800-Geometrische Definition für Nullvektoren11Beantworten

Ich hab's jetzt mal reingenommen, nachdem ich auch eine Diskussion auf Math.stackexchange dazu gefunden habe: https://math.stackexchange.com/questions/932418/dot-product-of-a-non-zero-vector-with-a-null-vector. Man kann ja noch mal drüber diskutieren, aber ich sehe keinen Grund, bei der geometrischen Definition keine Fallunterscheidung vorzunehmen. --Mathze (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Mathze-20230122165000-Mathze-2023012020080011Beantworten

Gut gemacht! --Joachim Mohr (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Joachim Mohr-20230123072100-Mathze-2023012216500011Beantworten

In der Einführung steht:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit ... maximal, wenn sie die gleiche Richtung haben.

Das stimmt ja nur, wenn sie auch dieselbe Orientierung haben. @Joachim Mohr: hatte meinen diesbezüglichen Edit rückgängig gemacht mit der Begründung, es sei "im übertragenenen Sinne maximal ..., wenn sie entgegengesetzte Orientierung haben". Es gibt aber in der Mathematik keinen übertragenen Sinn. Mein Vorschlag:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit ... betragsmäßig maximal, wenn sie die gleiche Richtung haben.

Meinungen? -- UKoch (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-UKoch-20230201191700-Maximal11Beantworten

... wenn sie gleiche oder entgegengesetzte Richungen haben. --Joachim Mohr (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Joachim Mohr-20230201193500-UKoch-2023020119170011Beantworten

Nach meinem Verständnis schließt "gleiche Richtung" die gleiche Orientierung mit ein. Nord und Süd sind schließlich unterschiedliche Richtungen. --Digamma (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Digamma-20230202191000-UKoch-2023020119170011Beantworten

Nach meinem auch. --Daniel5Ko (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Daniel5Ko-20230202225100-UKoch-2023020119170011Beantworten

...wenn der Winkel zwischen beiden Null ist. --TiHa (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-TiHa-20230203043400-UKoch-2023020119170011Beantworten

Interessant! Die einzige Verwendung des Wortes Richtung in der analytischen Geometrie, die ich kenne, schließt die Orientierung nicht ein - im Gegensatz zur alltagssprachlichen Bedeutung. Sollte Richtung hier evtl. verlinkt werden? Wohin? -- UKoch (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-UKoch-20230203130000-TiHa-2023020304340011Beantworten

In welchem Kontext schließt Richtung die Orientierung nicht mit ein? Im Zusammenhang mit Unterräumen? Die besitzen ja von Haus aus keine Orientierung. Ein Vektor aber sehr wohl. --Digamma (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Digamma-20230203171400-UKoch-2023020313000011Beantworten

Im Studium (Informatik, Mathe-Vorlesungen von Mathe-Profs gehalten) wurden Richtung, Orientierung und Länge als die drei kennzeichnenden Eigenschaften eines Vektors genannt. Vgl. den Richtungsvektor einer Geraden; da ist ja die Orientierung egal. -- UKoch (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-UKoch-20230203191400-Digamma-2023020317140011Beantworten

Am besten, man umschreibt es, wenn es keine eindeutigen Festsetzungen gibt. Hier werden Richtung und Richtungssinn unterschieden: Vektor#Betrag,_Richtung_und_Orientierung TiHa (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-TiHa-20230204042400-UKoch-2023020313000011Beantworten

Ich habe vor, eine Herleitung des Skalarprodukts mittels Kosinussatz hinzuzufügen. Hat jemand Einwände? --HobbyAstronaut (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-HobbyAstronaut-20230730195500-Herleitung11Beantworten

Ich verstehe nicht, was genau du machen sollst. Das Skalarprodukt wird doch definiert, nicht hergeleitet. Welche Formel möchtest du herleiten? --Digamma (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-Digamma-20230731200000-HobbyAstronaut-2023073019550011Beantworten

Ich hab mich falsch ausgedrückt. Ich meinte ein Beweis der Definition, so wie hier: https://youtu.be/RQ_7laap-rM?t=232 --HobbyAstronaut (Diskussion) Diskussion:Skalarprodukt#c-HobbyAstronaut-20230731204000-Digamma-2023073120000011Beantworten