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Ich denke die alternative Berechnungsmethode mit dem Normalenvektor kommt viel zu "schlecht weg". Das dürfte die Methode sein, die im Schulunterricht gelehrt wird, und sie ist für nicht orthogonale Spannvektoren wohl auch deutlich einfacher. Wenn man den Normalenvektor n hat (berechnen geht einfach mit dem Kreuzprodukt), muss man kein Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen, sondern hat nur noch eine Unbekannte, d.h. man kann P(x) explizit angeben. In Spezialfall mit Ursprungsebene und normiertem n, bekommt man z.B. P(x) = x - (x · n) n. -- HilberTraum (Diskussion) Diskussion:Orthogonalprojektion#c-HilberTraum-2012-06-20T19:22:00.000Z-Projektion auf eine Ebene11Beantworten
Letzter Kommentar: vor 12 Jahren14 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt
„Damit eine Orthogonalprojektion auch explizit angegeben werden kann, muss der Raum noch weiter eingeschränkt werden.“
Worauf muss er eingeschränkt werden? Mir fällt kein besseres Kriterium ein als „auf Räume, wo man für den entsprechenden Unterraum, auf den projiziert werden soll, eine Orthonormalbasis angeben kann“ (wobei man die Projektion vllt. auch schonmal anderweitig darstellen kann, da fällt mir aber kein Beispiel ein). Separabilität ist jedenfalls unerheblich dafür, die im Rest des Abschnitts benutzt wird (auf kann ich das problemlos angeben, auch wenns nicht separabel ist, auf womöglich nicht, auch wenns separabel ist). Kann der Satz vllt. einfach weg? --Chricho¹²³Diskussion:Orthogonalprojektion#c-Chricho-2012-06-21T13:37:00.000Z-Einschränkung für Angebbarkeit11Beantworten
Die ist im Allgemeinen nicht abzählbar. Aber wenn du jetzt eine Orthonormalbasis mit einer beliebigen Indexmenge hast, die dan Unterraum aufspannt, also , dann konvergiert für jedes aus dem Gesamtraum
Letzter Kommentar: vor 12 Jahren12 Kommentare3 Personen sind an der Diskussion beteiligt
Der Artikel verweist auf den Artikel Skalarprodukt. Dort werden Skalarprodukte im komplexen Fall als semilinear im ersten und linear im zweiten Argument definiert (Physiker-Konvention). Bei den Formeln zur Berechnung der orthogonalen Projektion mit Hilfe einer ONB und des Skalarprodukts muss dann der Vektor, der projiziert wird, im Skalarprodukt an zweiter Stelle stehen, damit die Abbildung linear ist.
Beispiel: Statt
muss es
heißen. Das gilt an vielen Stellen im Artikel, sowohl im Teil lineare Algebra als auch im Teil Funktionalanalysis.
Die Definition für das Skalarprodukt zu ändern würde nicht genügen, denn an einigen Stellen wird das Standardskalarprodukt verwendet in der Definition
Es gibt halt nicht eine Definition sondern zwei Definitionen. Vielleicht sollte das in Skalarprodukt noch stärker herausgestellt werden. Innerhalb eines Artikels sollte die Verwendung des Skalarprodukts natürlich konsistent sein, ich werde das hier natürlich korrigieren. Konsistenz zwischen den Artikeln zu erwingen halte ich aber nicht für sinnvoll, denn es gibt zwei gleichwertig gültige Definitionen. Vielmehr sollte man im Zweifelsfall dazu sagen, welche der beiden Definitionen man verwendet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) Diskussion:Orthogonalprojektion#c-Quartl-2012-07-04T21:15:00.000Z-Chricho-2012-07-04T20:50:00.000Z11Beantworten
Es gab Diskussion:Skalarprodukt/Archiv/001#Definition ueber Eigenschaften: positiv definit.2C sesquilinear.2C hermitesch.11 mal eine alte Diskussion dazu, mit dem Tenor, dass es mathematisch egal ist, in Mathebüchern beide Varianten vorkommen mit einem leichten Übergewicht der Version vorne linear, hinten semilinear, die Physiker aber durchweg die andere Variante vorne semilinear, hinten linear benutzen. Die Empfehlung war damals, da es mathematisch egal ist und die Mathematiker sich eh nicht einig sind, die Physikervariante zu benutzen, aber im Prinzip muss es nur innerhalb eines Artikels einheitlich sein, und jeder Artikel muss sagen, welche Variante er benutzt.
Ich habe daraufhin (bei größeren Bearbeitungen, die sowieso anstanden), die Artikel Prähilbertraum, Sesquilinearform und Skalarprodukt nach der Physikervariante vereinheitlicht. Natürlich immer mit dem Zusatz, dass es auch die andere Variante gibt. Ein Grund für mich, diese Variante zu bevorzugen, ist die Form des Standardskalarprodukts. Wenn man Vektoren wie üblich als Spaltenvektoren versteht, dann lautet das Standardskalarprodukt mit der Physikervariante . Der Vektor, der transponiert wird, wird auch konjugiert. Mit der Variante vorne linear, hinten semilinear wäre es , vorne transponiert, hinten konjugiert. --Digamma (Diskussion) Diskussion:Orthogonalprojektion#c-Digamma-2012-07-05T11:27:00.000Z-Quartl-2012-07-04T21:46:00.000Z11Beantworten
Wählt man für den Vektorraum eine Orthonormalbasis bezüglich des Skalarprodukts , dann kann jeder Vektor als Koordinatenvektor über
mit
dargestellt werden. Die Koordinaten sind dabei genau die Längen der Orthogonalprojektionen des Vektors auf die Basisvektoren. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist in Koordinatendarstellung dann das Standardskalarprodukt der zugehörigen Koordinatenvektoren , wobei der adjungierte Vektor (im reellen Fall der transponierte Vektor) zu ist.
OK, ich habe hier übersehen, dass und vertauscht wurden. Dann ist es natürlich richtig (aber aus meiner Sicht sehr unschön und sehr leicht zu übersehen).
Letzter Kommentar: vor 9 Jahren2 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt
In dem Kapitel Projektion auf eine Gerade heißt es in dem Text nach der Überschrift Berechnung dass gilt. Diese Bemerkung - finde ich - geht unter, wenn man sich nur schnell die Formel ziehen möchte. Weiter unten bei der Überschrift Allgemeinfall kommt dann erst die Formel welche man tendenziell sucht.
Persönlich finde ich die Überschrift 'Berechnung' etwas schlecht gelungen! Meines erachtens ist hier die Überschrift 'Herleitung' geeigneter, da sie mit der Beschränkung auf Ursprungsgeraden nicht die allgemeingültige Formel entsteht. Daher schlage ich vor, die Überschrift Berechnung in Herleitung und die Überschrift Allgemeinfall in Berechnung zu ändern. Dies ist zwar nur eine kleine Änderung, wird die Verwechslungsgefahr meines erachtens jedoch enorm reduzieren. (nicht signierter Beitrag von145.253.240.50 (Diskussion) Diskussion:Orthogonalprojektion#c-145.253.240.50-2014-12-04T08:18:00.000Z-Verwechslungsgefahr bei den Formeln von 11)Beantworten