Stratonowitsch-Integral

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Das Stratonowitsch-Integral (auch Fisk-Stratonowitsch-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō-Integral. Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren. Im Unterschied zu dem Itō-Integral, wo man für die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benötigt

nützt man beim Stratonowitsch-Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes

Der Vorteil des Stratonowitsch-Integrals gegenüber dem Itō-Integral ist, dass die Itō-Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt.

Das Fisk-Stratonowitsch-Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt.

Stratonowitsch-Integral

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Seien und Semimartingale definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum und . Dann ist das Stratonowitsch-Integral von bezüglich definiert als[1]

Hier ist das Itō-Integral und der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation. Ferner sind die die Sprungstellen des Prozesses.

Für stetige Semimartingale

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Wenn und stetige Semimartingale sind, dann ist

oder in Differentialschreibweise

  • Die Definition des Stratonowitsch-Integrales lässt sich verallgemeinern, so dass nicht mehr ein Semimartingal ist, sondern lediglich adaptiert und càdlàg.

Das Stratonowitsch-Integral erhält man, wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt. Sei eine Partition von und stetige Semimartingale. Dann gilt

Beziehung zwischen dem Itō- und Stratonowitsch-Integral

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Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen

Wenn und stetige Semimartingale sind, dann gilt

Sei ein -Semimartingal und , dann ist ein Semimartingal und es gilt[2]

Das Integrationsgebiet bedeutet .

Für stetige Semimartingale

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Sei ein stetiges -Semimartingal und , dann ist ein Semimartingal und es gilt

Verallgemeinerungen

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Eine Verallgemeinerung für Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral, welches man durch Umschreiben des Sprung-Terms erhält.

Das Ogawa-Integral verallgemeinert das Stratonowitsch-Integral.

  • Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier: Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale. Hrsg.: Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. ISBN 978-3-519-02229-9, S. 349–544.
  • Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4.
  • Bernt K. Øksendal, Bernt K.: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Hrsg.: Springer, Berlin. 2003, ISBN 3-540-04758-1.

Einzelnachweise

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  1. Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 82.
  2. Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.