Satz von Meyers-Serrin

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Der Satz von Meyers-Serrin oder Satz von Meyers und Serrin, benannt nach Norman George Meyers und James Serrin, ist ein Satz aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Er besagt, dass die unendlich oft differenzierbaren Funktionen in Sobolev-Räumen dicht liegen.[1]

Sei eine offene, nichtleere Teilmenge und seien und Zahlen. Dann liegt der Untervektorraum dicht im Raum Dabei bezeichnet den Sobolev-Raum.[2][3]

Es sei offen, zusammenhängend und beschränkt. Die auf Kurt Friedrichs zurückgehende (Friedrichssche) Glättungsfunktion (Mollifier) lautet

,

wobei die Konstante so gewählt werden soll, dass gilt:

.

Zudem setze

,

weshalb auch für sowie erfüllt sind. Das Faltungsintegral, die Abglättung von :

existiert dann und ist beliebig oft differenzierbar für .

Sei . Jeder Funktion und jedem ordnen wir die regularisierte Funktion (Abglättung):

mit ,

zu. Dann ist die Abbildung linear von nach und es gilt:

.

Es gelten die folgenden Aussagen:

  1. Für gilt:
    für .
  2. Für mit folgt:
    für .

Sei durch auf fortgesetzt. Für bezeichnet:

mit

die regularisierte Funktion der Klasse . Dann gilt für alle Multiindizes mit und alle die Identität:

mit .

Wir wählen als offene Mengen mit mit:

sowie mit ,

so dass gilt:

.

Weiter sei eine dem Mengensystem untergeordnete Zerlegung der Eins, d. h., es seien:

und mit .

Zu vorgegebenem wählen wir nun , so dass sowie:

gemäß den Hilfssätzen (insbesondere laut des Satzes 1: der Vertauschung schwacher Ableitungen mit der Abglättung nach Kurt Friedrichs) richtig ist. Nun gelten:

sowie

resp. zusammen mit der Wahl der :

.

Da ist, folgt auch .[4][5]

Es gilt folgende Inklusion:

.

Der Raum ist bezüglich der -Norm nicht abgeschlossen. Gemäß dem Satz von Meyers-Serrin können wir jedoch gerade als die Vervollständigung von unter dieser Sobolev-Norm auffassen. Die partiellen Ableitungen können als stetige Operatoren auf diesen Sobolev-Räumen zu den uns bekannten schwachen Ableitungen fortgesetzt werden.[5]

  • In der älteren Theorie hatte man die Räume als die Abschlüsse von in definiert. Der Satz von Meyers-Serrin besagt, dass die H-Räume mit den W-Räumen zusammenfallen, was den kurzen Titel der unten angegebenen Originalarbeit erklärt.[1]
  • Die Definitionsbedingungen für Sobolev-Räume verwenden den Begriff der schwachen Ableitung, gewisse schwache Ableitungen müssen im Lp-Raum liegen. Indem man dieselben Bedingungen für den klassischen Ableitungsbegriff verwendet, kann man die Menge der -Funktionen konstruieren, die diese Bedingungen erfüllen, und dann vervollständigen. Der Satz von Meyers-Serrin sagt aus, dass man auf diese Weise dieselben Räume erhält; der Begriff der schwachen Ableitung lässt sich an dieser Stelle also vermeiden.
  • Es ist bemerkenswert, dass dieser Satz im Gegensatz zu anderen Dichtheitssätzen über Sobolev-Räume ohne zusätzliche Regularitätsvoraussetzungen an den Rand auskommt.
  • Norman George Meyers, James Serrin (Department of Mathematics der University of Minnesota): H = W. In: Proc. N. A. S. Band 51, Nr. 6. New York 1. Juni 1964, S. 1055–1056 (pnas.org [PDF]).
  • Friedrich Sauvingy: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und Physik. Funktionalanalytische Lösungsmethoden. Band 2. Springer, Heidelberg 2005, ISBN 3-540-23107-2, Kap. X (Schwache Lösungen elliptischer Differentialgleichungen), § 1 (Sobolevräume), Sätze 1–3 (Friedrichs) sowie Satz 4 (Meyers-Serrin), S. 182–185 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise

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  1. a b Norman George Meyers, James Serrin: H = W. In: Proc. N. A. S. Band 51, Nr. 6. New York 1. Juni 1964, S. 1055–1056 (PDF).
  2. Giovanni Maria Troianiello: Elliptic differential equations and obstacle problem. Plenum Press, New York 1987, ISBN 0-306-42448-7, S. 48.
  3. Joseph Wloka: Partielle Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02225-7, Satz 3.5 für -Räume, S. 74/75.
  4. Friedrich Sauvingy: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und Physik. Funktionalanalytische Lösungsmethoden. Band 2. Springer, Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-23107-3, Kap. X, § 1, Satz 4, S. 184 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. a b Steffen Fröhlich: Der Satz von Meyers und Serrin. (PDF; 104 kB) Vorlesung 16 (SoSe 2009). In: Einführung in die Funktionalanalysis. Fachbereich Mathematik und Informatik der Freien Universität Berlin, 9. Juni 2009, S. 4, ehemals im Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 27. Dezember 2012.@1@2Vorlage:Toter Link/page.mi.fu-berlin.de (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven)