Der Satz von Chintschin, benannt nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin (1894–1959), ist ein Lehrsatz der Zahlentheorie. Er war ein Vorläufer der metrischen Theorie diophantischer Approximation und fand eine weitreichende Verallgemeinerung in der Duffin-Schaeffer-Vermutung.
Mit
bezeichnen wir die natürlichen Zahlen ohne die Null.
Sei
eine monoton fallende Funktion und
das eindimensionale Lebesgue-Maß.
Für eine reelle Zahl
bezeichnen wir mit
den Abstand von
zur nächstliegenden ganzen Zahl
![{\displaystyle \Vert \alpha q\Vert :=\min \limits _{z\in \mathbb {Z} }(|\alpha q-z|).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8dee2991453fc2406674915e1203024bd92fb9)
Sei
die Funktion, die die Anzahl der Lösungen
der Ungleichung
zählt:
![{\displaystyle f(\alpha ):=\#\{q\in \mathbb {N} :\Vert \alpha q\Vert <\phi (q)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0c0e9def1b8840cab605a62e631cd5de307afb)
Eine Zahl
heißt
-approximierbar, falls
.
Für die Menge der
-approximierbaren Zahlen gelten nun folgende Aussagen bezüglich des Lebesgue-Maß:
- Wenn
, dann ist
.
- Wenn
, dann ist
.
Eine äquivalente Formulierung besagt, dass unter obigen Voraussetzungen gilt:
- Wenn die Reihe
divergiert, dann gibt es für Lebesgue-fast alle
unendlich viele rationale Zahlen
mit
.
- Wenn die Reihe
konvergiert, dann gibt es für Lebesgue-fast alle
nur endlich viele rationale Zahlen
mit
.
Für fast alle
gibt es unendlich viele rationale Zahlen
mit
![{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{q^{2}\ln q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6734119b9d8ced526205c0642b2ab5bf8af5a543)
Dagegen gibt es für
für fast alle
nur endlich viele rationale Zahlen
mit
![{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{q^{2}(\ln q)^{1+\epsilon }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4681abfce032193ad8677fad3070e4c290a7c0)
Die mehrdimensionale Version des Satzes von Chintschin besagt:
- Wenn die Reihe
divergiert, dann hat für Lebesgue-fast alle
das Ungleichungssystem
unendlich viele ganzzahlige Lösungen
.
- Wenn die Reihe
konvergiert, dann hat für Lebesgue-fast alle
das Ungleichungssystem
nur endlich viele ganzzahlige Lösungen
.
- A. J. Chintschin: Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen, Math. Z. 24, 706–714, 1926
- J. W. Cassels: An introduction to diophantine approximation, Cambridge University Press, 1957