Abbildung 1: Rosetten
Abbildung 2: Rosetten
Abbildung 3: Rosette
-
Foucaultsches Pendel
-
Abbildung 4: Rosette:
![{\displaystyle n=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153da0dfe820ca6d0543253bfdf35c0aef0f0f1e)
Abbildung 5: Rosetten
Eine Rosette ist in der Geometrie eine ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch eine Gleichung
![{\displaystyle r=a\cos(n\varphi )\ ,\ n=1,2,3,\dots ,\;a>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b375cf34c1dd5779bfd2531bddfc3a50682afc)
beschreiben lässt, d. h. die zugehörige Parameterdarstellung ist
,
.
Falls
ist, ergibt sich der Kreis mit der Gleichung
,
ist, ergibt sich ein Quadrifolium (4-blättrige Rosette),
ist, ergibt sich ein Trifolium (3-blättrige Rosette),
ist, ergibt sich ein 8-blättrige Rosette,
ist, ergibt sich ein 5-blättrige Rosette.
Für
gerade ist die Rosette
-blättrig.
ungerade ist die Rosette
-blättrig.
Bemerkung: Die Verwendung der Sinusfunktion statt der Kosinusfunktion bewirkt nur eine Drehung der Rosette.
- Verallgemeinerungen
- Lässt man für
rationale Werte zu, so ergeben sich auch geschlossene Kurven (s. Abb. 2).
- Für irrationale Werte von
sind die Kurven nicht geschlossen (s. Abb. 4).
- Addiert man zu
eine Konstante:
, ergeben sich Rosetten mit großen und kleinen Blütenblättern (s. Abb. 3).
Bemerkung: Das Foucaultsche Pendel beschreibt eine offene Rosettenkurve.
Eine Rosette
besitzt den Flächeninhalt
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8582f6bd7f2e8a2cf27c63936d0580aab109883e)
falls
gerade ist, und
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b7564f331c9e00a1e2471c57648617bf34a09e)
falls
ungerade ist.
Es besteht also ein einfacher Zusammenhang mit der Fläche des umgebenden Kreises mit Radius
.