Membrangleichung (Statik)
Die Membrangleichung beschreibt statisch eine Membran durch eine partielle Differentialgleichung.
Herleitung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Last wirkt auf eine Membran, die vollständig biegsam ist. Die dadurch entstandene Krümmung wird von einer Membranzugkraft aufgenommen. Teilt man diese Membran in zwei senkrechte Streifen in -Richtung und in -Richtung, so lassen sich unter der Annahme, dass die Durchbiegung klein ist, folgende Beziehungen aufstellen:[1]
und
- .
Dabei sind und die zweiten Ableitungen in - und -Richtung. und sind die Anteile der Last in - und -Richtung.
Mit der Gleichgewichtsbedingung erhält man nun die Membrangleichung:
- ,
wobei der Laplaceoperator ist.
Als Randbedingung nimmt man an. Das heißt, der Rand ist gestützt und erfährt keine Durchbiegung.
Das Problem stellt damit eine Poissongleichung dar.
Anwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Anwendung mit der Membrananalogie der Torsion hat Ludwig Prandtl 1903 veröffentlicht und sie mit der Saint-Venantsche Torsion verknüpft.[1][2]
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ a b Fritz Stüssi: Entwurf und Berechnung von Stahlbauten. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1958, ISBN 978-3-662-11682-1, S. 206, doi:10.1007/978-3-662-11682-1.
- ↑ Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen. Springer Verlag, Heidelberg, Berlin 1961, ISBN 978-3-662-11836-8, Zur Torsion von prismatischen Stäben, S. 79–80, doi:10.1007/978-3-662-11836-8_4.