Maßäquivalenz

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Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie ist die Maßäquivalenz von Gruppen eine Abschwächung des Begriffs der Quasi-Isometrie.

In Abgrenzung zur geometrischen Gruppentheorie, in der Gruppen bis auf Quasi-Isometrie klassifiziert werden, bezeichnet man die Untersuchung von Gruppen bis auf Maßäquivalenz als meßbare Gruppentheorie (engl.: measurable group theory).

Die Maßäquivalenz sollte nicht mit der Äquivalenz von Maßen verwechselt werden.

Zwei abzählbare Gruppen und heißen maßäquivalent, wenn es kommutierende maßerhaltende freie Wirkungen von und auf einem Maßraum mit gibt, die beide einen Fundamentalbereich von endlichem Maß haben.

Der Raum mit den Wirkungen von und heißt eine Kopplung von und . Das Verhältnis der Volumina der Fundamentalbereiche heißt Kopplungskonstante

.

Motivation der Definition

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Gromov hat gezeigt, dass zwei endlich erzeugte Gruppen genau dann quasi-isometrisch sind, wenn es kommutierende, stetige Wirkungen auf einem lokalkompakten Raum gibt, die eigentlich diskontinuierlich und kokompakt sind.

Die Definition der Maßäquivalenz ist in diesem Sinne eine Abschwächung der Definition der Quasi-Isometrie. Es ist aber eine offene Frage, ob quasi-isometrische Gruppen immer auch maßäquivalent sind.

Maßäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation.

Eine Maßäquivalenz heißt ergodisch, wenn die Wirkung von auf ergodisch ist. Jede Maßäquivalenz hat eine Ergodenzerlegung als Integral ergodischer Maßäquivalenzen.

Zwei abzählbare Gruppen sind genau dann maßäquivalent, wenn sie stabil orbitäquivalente wesentlich freie maßerhaltende Wirkungen erlauben.

Seien und maßäquivalente Gruppen mit Kopplungskonstante . Dann gilt:

  • für die Kosten der Gruppen,
  • für die L2-Betti-Zahlen,
  • die ergodischen Dimensionen von und stimmen überein.

Darstellungstheorie

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Wenn zwei Gruppen maßäquivalent sind, dann induziert jede (unitäre) Darstellung der einen Gruppe eine (unitäre) Darstellung der anderen.

Insbesondere sind Eigenschaft T, Mittelbarkeit und die Haagerup-Eigenschaft wohl-definierte Eigenschaften modulo Maßäquivalenz.

  • Alex Furman: Gromov's measure equivalence and rigidity of higher rank lattices, Annals of Mathematics 150 (1999), 1059–1081. online (PDF; 199 kB)
  • Damien Gaboriau: Orbit equivalence and measured group theory. Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume III, 1501–1527, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010.