Lebesguezahl

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Eine Lebesguezahl ist eine (nicht eindeutige) Zahl, die man einer offenen Überdeckung eines kompakten metrischen Raums zuordnen kann. Benannt wurde sie nach dem französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue.

Sie dient oft als Hilfsmittel, wenn Endlichkeitsbedingungen gegeben sind.

Satz von der Existenz

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Der Satz von der Existenz einer Lebesguezahl oder das Lemma von Lebesgue ist ein Lemma aus dem Gebiet der Topologie.

Er besagt, dass für jeden kompakten metrischen Raum mit Metrik gilt:

Zu jeder offenen Überdeckung existiert eine Zahl sodass jede Teilmenge mit Durchmesser in einer Überdeckungsmenge enthalten ist, also . Eine solche Zahl heißt Lebesguezahl der Überdeckung für .

Jede kleinere Zahl ist somit natürlich auch eine Lebesguezahl zu dieser Überdeckung und diesem Raum.

Wenn , kann jede Zahl gewählt werden, da ja alle Teilmengen in einer Überdeckungsmenge enthalten sind.

Sei also nun . Da kompakt ist, lässt sich aus eine endliche Teilüberdeckung wählen, sei also eine (endliche) Überdeckung von X.

Für alle , setze und definiere eine Funktion durch .

Für ein beliebiges, aber festes wähle nun so, dass . Wähle nun ein klein genug, sodass die -Umgebung von in der gewählten Überdeckungsmenge liegt, also . Nun ist , also ist . Die Funktion ist somit auf ganz positiv.

Da stetig und auf einem Kompaktum definiert ist, nimmt es ein Minimum an. Dieses ist die gesuchte Lebesguezahl:

Sei eine Teilmenge mit Durchmesser kleiner . Für jedes liegt nun in der -Umgebung von . Wähle nun ein beliebiges .

Sei nun so gewählt, dass für maximal wird. Nun ist und die -Umgebung von und damit liegen ganz in aus der Überdeckung . Damit ist jetzt also ein mit der Eigenschaft der Lebesguezahl gefunden.

Die Lebesguezahl wird beim Beweis verschiedener grundlegender Sätze der Algebraischen Topologie verwendet, so beim Beweis des Satzes von Seifert-van Kampen oder der Mayer-Vietoris-Sequenz und des Ausschneidungsaxioms der singulären Homologie.