Krulldimension

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Die Krulldimension eines topologischen Raums ist ein nach Wolfgang Krull benannter topologischer Dimensionsbegriff. Dieser wird durch algebraische Untersuchungen von Ringen in der algebraischen Geometrie motiviert und steht in enger Beziehung zur Dimension eines Ringes.

Sei ein topologischer Raum. Die Krulldimension (oder auch kombinatorische Dimension) ist das Supremum aller Längen von Ketten

von nichtleeren, abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen. Diese wird mit bezeichnet.[1][2]

Bezug zur Ringtheorie

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Ist ein kommutativer Ring mit Einselement, so betrachtet man auf dem Spektrum üblicherweise die Zariski-Topologie. Ordnet man einem Primideal die Menge aller es umfassenden Primideale zu, so erhält man eine bijektive Beziehung zwischen und der Menge aller nichtleeren abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von . Daher ist die in der kommutativen Algebra betrachtete Dimension eines Ringes, die über die maximale Länge von Primidealketten definiert wird, nichts anderes als die oben definierte Krulldimension seines Spektrums.

Die Krulldimension eines noetherschen Rings hat die folgenden Eigenschaften:

  • wenn ein Integritätsbereich und eine endlich erzeugte -Algebra ist, dann ist der Transzendenzgrad und für jedes Primideal gilt .
  • Ein nichtleerer Hausdorffraum hat die Krulldimension 0, denn die irreduziblen Teilmengen sind genau die einpunktigen Mengen.
  • versehen mit der Zariski-Topologie, das heißt abgeschlossen sind die gemeinsamen Nullstellenmengen von Mengen von Polynomen in Unbestimmten, hat die Dimension . Alle Zariski-abgeschlossenen echten Teilmengen haben eine kleinere Dimension.[3]
  • Ist ein Noetherscher Ring, so gilt für den Polynomring :
  • Ist eine ganze Ringerweiterung, so gilt:
  • Für einen beliebigen kommutativen unitären Ring gilt: und für jedes Paar von natürlichen Zahlen mit gibt es einen Ring mit und .
  • Es gilt für den Potenzreihenring über einem Noetherschen Ring : .
  • In einem Noetherschen Ringe gilt für ein Element , welches nicht transzendent über ist: .

Vergleich mit anderen Dimensionsbegriffen

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Da alle Hausdorffräume die Krulldimension 0 haben, stimmt diese nicht mit der Lebesgue’schen Überdeckungsdimension oder den induktiven Dimensionen überein. Dass die Dimension des im obigen Beispiel mit der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension übereinstimmt ist nur richtig, weil man im ersten Fall die Zariski-Topologie und im zweiten Fall die echt feinere euklidischen Topologie betrachtet.

Ist ein noetherscher Raum mit Krulldimension , so ist auch die kohomologische Dimension .[4]

Ist eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge, so nennt man die maximale Länge aller Ketten

von nichtleeren, abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen die Kodimension von und bezeichnet sie mit . Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge definiert man

als das Infimum der , wobei die irreduziblen Komponenten von durchläuft.

  • Die Krulldimension eines topologischen Raumes ist gleich dem Supremum der Krulldimensionen seiner irreduziblen Komponenten.
  • Ist mit abgeschlossenen Teilmengen , so ist .[5]

Einzelnachweise

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  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Definition II,1.1.
  2. Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. Vieweg, Braunschweig u. a. 2000, ISBN 3-528-03156-5, Kapitel III: Glatte Punkte und Dimension.
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Satz II,3.11 (b).
  4. Jacob Lurie: Higher Topos Theory (= Annals of Mathematics Studies. 170). Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, Corollary 7.2.4.10.
  5. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Regeln II,1.2.