E8-Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik ist die -Mannigfaltigkeit eine einfach zusammenhängende -Mannigfaltigkeit mit Schnittform , die verschiedene ungewöhnliche Eigenschaften hat.

Graph des Dynkin-Diagramms
Klempnern zweier -Bündel über

Durch die Methode des Klempnerns entlang Graphen können aus mit den Knoten des Graphen assoziierten Kreisscheibenbündeln kompliziertere Mannigfaltigkeiten gebaut werden. Dies wird auf den Graphen des Dynkin-Diagramms angewandt, wobei den Knoten des Graphen jeweils das zum Kotangentialbündel der 2-Sphäre assoziierte Kreisscheibenbündel zugeordnet wird.

Die so erhaltene 4-Mannigfaltigkeit hat als Rand die Poincaré-Homologiesphäre. Diese berandet eine 4-Mannigfaltigkeit mit trivialer Homologie und durch Verkleben erhält man eine geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit Schnittform . (Dies ist ein Spezialfall des Satzes von Freedman, dass es zu jeder unimodularen, symmetrischen Bilinearform eine einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform gibt.)

  • Die -Mannigfaltigkeit trägt keine Differentialstruktur. Das folgt aus dem Satz von Rochlin, demzufolge die Signatur einer differenzierbaren Spin-Mannigfaltigkeit durch teilbar ist, oder aus dem Donaldson-Theorem, demzufolge die Schnittformen einfach zusammenhängender, differenzierbarer -Mannigfaltigkeiten nur dann positiv definit sein können, wenn sie diagonalisierbar sind. Die zum Dynkin-Diagramm gehörende Bilinearform ist positiv definit, aber nicht diagonalisierbar. Ihre Signatur ist .
  • Die -Mannigfaltigkeit ist nicht triangulierbar. Dies wurde von Casson mit der zu diesem Zweck eingeführten Casson-Invariante bewiesen. Allgemein sind geschlossene -Mannigfaltigkeiten mit gerader Schnittform und Signatur nicht triangulierbar.
  • M. Freedman, F. Quinn: Topology of 4-Manifolds. Princeton Mathematical Series, 39. Princeton, NJ: Princeton University Press (1990).