Diskussion:Waringscher Satz (Analysis)

Wenn man bei Google Books „Waringscher Satz“ eingibt, führen alle Treffer entweder auf den Hilbert-Waringschen Satz (der bei uns Waringsches Problem heißt) oder auf Verallemeinerungen davon wie den „idealen“ (oder „universellen“) Waringschen Satz.—Godung Gwahag (Diskussion) Diskussion:Waringscher Satz (Analysis)#c-Godung Gwahag-2020-01-28T10:03:00.000Z-Kritik am verwendeten Lemma "Waringscher Satz"11Beantworten

In Walz, Lexikon der Mathematik gibt es ebenfalls nur die Benennungen nach Waring aus dem Umfeld des Waringschen Problems.--Claude J (Diskussion) Diskussion:Waringscher Satz (Analysis)#c-Claude J-2020-02-03T13:39:00.000Z-Godung Gwahag-2020-01-28T10:03:00.000Z11Beantworten

Ich billige dem Ganzen höchstens den Rang einer Übungsaufgabe zu. Sei ohne Einschränkung f>0 auf ]a,b[. Zunächst zeigt man, dass g rechts von a und nahe a positiv sein muss und links von b nahe b negativ sein muss (siehe unten). Daher muss g in ]a,b[ eine ungerade Anzahl von Vorzeichenwechseln haben. Da Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel gerade Ordnung haben, folgt die Behauptung. Habe ich hier etwas übersehen?

Zur Vollständigkeit meines Arguments zeige ich, dass g rechts von a und nahe a positiv sein muss. Da f in a eine Nullstelle hat, ist ${\displaystyle f(x)=(x-a)^{k}f_{a}(x)}$ mit ${\displaystyle k>0}$ und einem Polynom ${\displaystyle f_{a}(x)>0}$ auf [a,b[. Dann ist

${\displaystyle g(x)=k(x-a)^{k-1}f_{a}(x)+(x-a)^{k}f_{a}'(x)+c(x-a)^{k}f_{a}(x)=k(x-a)^{k-1}f_{a}(x)+(x-a)^{k}(f_{a}'(x)+cf_{a}(x))}$, also ${\displaystyle {\frac {g(x)}{(x-a)^{k-1}}}=kf_{a}(x)+(x-a)(f_{a}'(x)+cf_{a}(x))}$.

Da ${\displaystyle kf_{a}(a)>0}$ zeigt eine Betrachtung von ${\displaystyle x\to a}$, dass g(x) rechts von a nahe a positiv sein muss. Die Behauptung für x links von b nahe b folgt genauso.

Ich zweifle daher an, dass diese Aussage ernsthaft als Satz von Irgendjemandem bezeichnet werden sollte. Waring würde sicherlich dankend ablehnen.--FerdiBf (Diskussion) Diskussion:Waringscher Satz (Analysis)#c-FerdiBf-2020-02-09T21:32:00.000Z-Ist das schwierig?11Beantworten