Diskussion:Toeplitz-Vermutung

Im Abschnitt Toeplitz-Vermutung#Varianten und Generalisierung findet sich folgender Abschnitt:

"Es ist bekannt, dass es für ein Dreieck ${\displaystyle \Delta }$ und eine Jordan Kurve ${\displaystyle C}$ kein [sic!] Dreieck gibt, dass ähnlich zu ${\displaystyle \Delta }$ und in ${\displaystyle C}$ eingeschrieben ist. Darüber hinaus ist das Menge der Eckpunkte dieses Dreiecks eine dichte Teilmenge. Es gibt vor allem immer ein gleichseitiges eingeschriebenes Dreieck."

Dies ist ein Widerspruch. Ich nehme an, gemeint ist stattdessen, dass es es immer ein solches Dreieck gibt. Das klingt aber auch nicht richtig, welche Dreiecke sollte bspw. die Gerade einschreiben? Kann das bitte jemand aufklären?

Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:784B:BAAD:EF60:BDB7 Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-2A02:8109:9400:474:784B:BAAD:EF60:BDB7-2017-05-09T08:50:00.000Z-Widerspruch11Beantworten

Update: Moment mal, eine Gerade besitzt ja auch kein engeschriebenes Quadrat?! Wird diese Kurve per se ausgeschlossen? Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:784B:BAAD:EF60:BDB7 Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-2A02:8109:9400:474:784B:BAAD:EF60:BDB7-2017-05-09T08:55:00.000Z-Widerspruch11Beantworten

Geschlossene Jordankurven.--Claude J (Diskussion) Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-Claude J-2017-05-09T09:27:00.000Z-Widerspruch11Beantworten

Das ergibt deutlich mehr Sinn, vielen Dank! -- 2A02:8109:9400:474:7930:C038:48:E850 Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-2A02:8109:9400:474:7930:C038:48:E850-2017-05-10T07:53:00.000Z-Claude J-2017-05-09T09:27:00.000Z11Beantworten

Vielen Dank für die Korrektur --Lukaskobler (Diskussion) Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-Lukaskobler-2017-05-13T08:52:00.000Z-Widerspruch11Beantworten

Die Toeplitz-Vermutung wurde angeblich 2020 gelöst. Dazu gab es mehrere Nachrichten siehe zum Beispiel hier Webseite MSN. Der Beweis findet sich hier: arXiv

Einige Verallgemeinerungen sind wohl immer noch offen. Von der Änderung wäreauch der Artikel zu Otto Toeplitz selbst betroffen. --Mathefreund (Diskussion) Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-Mathefreund-2020-11-07T16:48:00.000Z-Aktuellere Ergebnisse11Beantworten

Löst nicht die Toeplitz-Vermutung, da die Kurven glatt sein müssen (Spezialfall). Der Fall glatter Kurven wurde schon 1929 von Schnirelman gelöst, Greene und Lobb zeigten darüberhinaus, dass unendlich viele Rechtecke (ähnlich zu jedem beliebigen Rechteck, charakterisiert durch Verhältnis der Seitenlängen) auf der Kurve liegen. Siehe Quanta Magazine--Claude J (Diskussion) Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-Claude J-2020-11-07T18:41:00.000Z-Mathefreund-2020-11-07T16:48:00.000Z11Beantworten

Stimmt, das hatte ich übersehen. Vielen Dank! --Mathefreund (Diskussion) Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-Mathefreund-2020-11-09T09:14:00.000Z-Mathefreund-2020-11-07T16:48:00.000Z11Beantworten

Da stetige Kurven aber auch bizarre fraktale Monster umfassen ist die Formulierung für glatte Kurven dann doch vielleicht die geometrisch "richtige" (Ausnahmestellen von der Differenzierbarkeit, sogar abzählbar unendlich viele, scheinen durch den neuen Beweis mit abgedeckt, da jedes Rechteck, parametrisiert durch reelles Kontinuum der Seitenverhältnisse, auf der Kurve ist). Der Beweis scheint interessant zu sein (Parametrisierung der Rechtecke in vierdimensionaler symplektischer Mannigfaltigkeit bzw. Möbiusband, das darin eingebettet ist....)--Claude J (Diskussion) Diskussion:Toeplitz-Vermutung#c-Claude J-2020-11-09T09:17:00.000Z-Mathefreund-2020-11-09T09:14:00.000Z11Beantworten