Diskussion:Symplektischer Vektorraum
Ich hab das Gefühl, dass aus <v,v>=0 nicht folgt <v,w>=-<w,v>, wobei das Beispiel mit der hyperbolischen Ebene nur mit zweiterem Sinn ergibt. Da ersteres aus zweiterem folgt, schlag ich das mal vor, änder es aber noch nicht, weil ich gerade kein Buch da hab zum verifizieren und symplektischen Raum nie in der Vorlesung hatte. -- Arist0s Diskussion:Symplektischer Vektorraum#c-Arist0s-2007-07-22T23:46:00.000Z11Arist0s
Wir hatten in der Vorlesung die Forderung <v,w> = -<w,v> an die Bilinearform und daraus folgt dann natürlich <v,v> = 0 ausserdem muss meines Erachtens die Bilinearform garnicht "nicht ausgeartet" sein für einen allgemeinen symplektischen Raum. Ein solcher Raum ist halt in hyperbolische Ebenen und isotrope Gerade (auf sich selbst senkrechte Geraden) zerlegbar. Fordert man dann noch zusätzlich die Nicht-Ausgeartetheit dann folgt, dass er gerade Dimension hat, denn es gibt keine isotrope Gerade. Dieses Vorgehen hielte ich für eleganter. --DocBorn Diskussion:Symplektischer Vektorraum#c-DocBorn-2007-07-28T04:41:00.000Z11
- Aus <v,w> = -<w,v> folgt im allgemeinen nicht <v,v> = 0. Arnold verlangt "nicht ausgeartet".--80.136.173.60 Diskussion:Symplektischer Vektorraum#c-80.136.173.60-2007-07-28T07:05:00.000Z-DocBorn-2007-07-28T04:41:00.000Z11
- öhm doch klar, denn wenn <v,w> = - <v, w> für alle v und w ist dann muss auch <v, v> = -<v, v> sein, da wir über einem Körper arbeiten muss <v, v> also 0 sein. Wer ist Arnold? Definiert er also einen symplektischen Raum als einen metrischen Raum mit alternierender, nicht ausgearteter Bilinearform??--DocBorn
- Es gibt Körper, in denen x = -x für alle x gilt ("Charakteristik 2"). Die umgekehrte Implikation gilt immer (expandiere <v+w,v+w>). Arnold ist eine der zentralen Figuren im Bereich symplektische Geometrie.--80.136.162.189 Diskussion:Symplektischer Vektorraum#c-80.136.162.189-2007-07-29T07:56:00.000Z-80.136.173.60-2007-07-28T07:05:00.000Z11
- öhm doch klar, denn wenn <v,w> = - <v, w> für alle v und w ist dann muss auch <v, v> = -<v, v> sein, da wir über einem Körper arbeiten muss <v, v> also 0 sein. Wer ist Arnold? Definiert er also einen symplektischen Raum als einen metrischen Raum mit alternierender, nicht ausgearteter Bilinearform??--DocBorn
- Du hast Recht, unter Determinante (Mathematik)#Definition über die Eigenschaften wird "alternierdend" genauso erläutert, d.h. <v,v> =0 ist die bessere Definition. Vielleicht den Abschnitt unter "alternierend" im entsprechenden Absatz verlinken? Und sorry für mein vorschnelles zurücksetzen. (Allerdings, mit der Charakteristik argumentieren?!? Es geht doch um Vekorräume, nicht um Körper ;-)) --χario Diskussion:Symplektischer Vektorraum#c-Xario-2009-02-17T18:54:00.000Z-80.136.162.189-2007-07-29T07:56:00.000Z11