Diskussion:Symmetrische Gleichung

Führt Polynomdivision einer symmetrischen Gleichung ungeraden Grades durch x+1 immer zu einer symmetrischen Gleichung? Im Abschnitt "5. Grad" liest sich das so. --Zaph Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-02-12T14:20:00.000Z11Beantworten

Klar doch! Wenn die Gleichung 5. Grades, also mit 6 Gliedern symmetrisch ist, ist -1 Lösung und daher x + 1 Linearfaktor. Die Gleichung 4. Grades hat aber immer noch die übrigen (zueinander reziproken) Lösungen der ursprünglichen Gleichung und ist daher weiterhin symmetrisch. --DelSarto Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-DelSarto-2012-02-13T12:57:00.000Z-Zaph-2012-02-12T14:20:00.000Z11Beantworten

Dann muss man aber doch erst mal beweisen, dass eine Gleichung symmetrisch ist, wenn mit einer Lösung x immer auch 1/x Lösung ist. Oder ist das trivial? BTW: Wieso eigentlich "ganzrational"? Gilt das alles nicht, wenn irrationale Koeffizienten mit im Spiel sind? --Zaph Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-02-15T23:54:00.000Z-DelSarto-2012-02-13T12:57:00.000Z11Beantworten

Das mit den reziproken Lösungen lässt sich ganz einfach in zwei Zeilen nachprüfen; das ist aber nicht Aufgabe der Wikipedia, wir betreiben ja nicht TF. Ganzrational heißt nicht, dass die Koeffizienten rational sein müssen, sondern lediglich, dass es sich um eine polynomiale Funktion handelt.--DelSarto Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-DelSarto-2012-02-17T05:40:00.000Z-Zaph-2012-02-15T23:54:00.000Z11Beantworten

Okay, sorry, das mit "ganzrational" ziehe ich zurück. Ich würde gerne folgenden Abschnitt hinzufügen und dafür den ersten Absatz entsprechend kürzen. Kann mal bitte jemand (DelSarto?) prüfen, ob ich mich da irgendwo verhauen habe? (nicht signierter Beitrag von Zaph (Diskussion | Beiträge) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-03T18:28:00.000Z11) Beantworten

Diese Idee gefällt mir, ich würde allerdings Punkt 1. entfernen. Antisymmetrische Gleichungen geraden Grades verwirren - glaube ich - eher.--DelSarto (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-DelSarto-2012-03-04T10:48:00.000Z-Zaph-2012-03-03T18:28:00.000Z11Beantworten

Finde ich nicht. Sonst wäre ja etwa x²-1 = 0 ein Gegenbeispiel zu 7. Außer zu symmetrischen Gleichungen 4. Grades habe ich bei Google nichts gefunden. Hast du eine Quellenangabe? --Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-04T12:40:00.000Z-DelSarto-2012-03-04T10:48:00.000Z11Beantworten

Ok, was Pkt. 1 betrifft, hast Du recht. Was die Quellen betrifft, scheinen diese sich tatsächlich vor allem auf die Gleichungen 4. Grades (die in der Praxis am häufigsten sind) zu beziehen. Allerdings waren die allgemeinen Tatsachen zu den symmetrischen Gleichungen in der Wikipedia schon lange bei Lösen von Gleichungen#Gleichungen höheren Grades auch ohne Belege, nur nicht so ausführlich erwähnt.--DelSarto (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-DelSarto-2012-03-05T12:51:00.000Z-Zaph-2012-03-04T12:40:00.000Z11Beantworten

Mir geht es nicht um eine formale Belegpflicht. Will nur sicherstellen, dass ich keinen Stuss schreibe. (Siehe z. B. Punkt 7 unten.) Wir werden ja wohl nicht die ersten sein, die die Eigenschaften formulieren ;-) --Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-06T18:27:00.000Z-DelSarto-2012-03-05T12:51:00.000Z11Beantworten

1. Bei einer antisymmetrischen Gleichung geraden Grades ist ${\displaystyle a_{n/2}=0}$.

2. Eine symmetrische Gleichung ungeraden Grades hat immer -1 als Lösung.

3. Eine antisymmetrische Gleichung hat immer 1 als Lösung.

4. Mit jeder Lösung ${\displaystyle x_{0}}$ einer symmetrischen oder antisymmetrischen Gleichung ist auch ihr Reziprokwert ${\displaystyle 1/x_{0}}$ eine Lösung.

5. Sind ${\displaystyle p(x)=0}$ und ${\displaystyle q(x)=0}$ symmetrische Gleichungen, so auch das Produkt ${\displaystyle p(x)\cdot q(x)=0}$. Sind beide Faktoren antisymmetrisch, so ist das Produkt ebenfalls symmetrisch. Ist ein Faktor symmetrisch und der andere antisymmetrisch, so ist das Produkt antisymmetrisch.

6. Sind ${\displaystyle p(x)=0}$ und ${\displaystyle p(x)\cdot q(x)=0}$ symmetrische oder antisymmetrische Gleichungen, so ist auch ${\displaystyle q(x)=0}$ symmetrisch oder antisymmetrisch.

7. Ist mit jeder Lösung ${\displaystyle x_{0}}$ einer Gleichung ${\displaystyle p(x)=0}$ auch der Reziprokwert ${\displaystyle 1/x_{0}}$ eine Lösung, dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.

--Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-03T18:28:00.000Z-Eigenschaften11Beantworten

7 muss heißen:

7. Ist mit jeder Lösung ${\displaystyle x_{0}}$ einer Gleichung ${\displaystyle p(x)=0}$ auch der Reziprokwert ${\displaystyle 1/x_{0}}$ eine Lösung der Gleichung mit gleicher Vielfachheit wie ${\displaystyle x_{0}}$, dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.

Außerdem:

8. Ist ${\displaystyle r(x)}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle n}$, so ist ${\displaystyle x^{n}\cdot r(x+{\frac {1}{x}})=0}$ eine symmetrische und ${\displaystyle x^{n}\cdot r(x-{\frac {1}{x}})=0}$ eine antisymmetrische Gleichung vom Grad ${\displaystyle 2n}$.

9. Ist ${\displaystyle p(x)=0}$ eine symmetrische (bzw. antisymmetrische) Gleichung vom Grad ${\displaystyle 2n}$, so existiert genau ein Polynom ${\displaystyle r(x)}$ vom Grad ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle p(x)=x^{n}\cdot r(x+{\frac {1}{x}})}$ (bzw. ${\displaystyle p(x)=x^{n}\cdot r(x-{\frac {1}{x}})}$).

--Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-06T18:24:00.000Z-Eigenschaften11Beantworten

Außerdem:

10. Ein Polynom ${\displaystyle p(x)}$ vom Grad n ist ein Palindrompolynom (Def. s. unten), genau dann wenn ${\displaystyle p(x)=x^{n}p({\frac {1}{x}})}$ und ein Anti-Palindrompolynom, genau dann wenn ${\displaystyle p(x)=x^{n}p(-{\frac {1}{x}})}$.

11. Wenn alle komplexen Nullstellen eines Polynoms ${\displaystyle p(x)}$ mit reellen Koeffizienten den Betrag 1 haben, dann ist ${\displaystyle p(x)}$ ein Palindrompolynom. Siehe: http://www.mathpages.com/home/kmath294/kmath294.htm

--Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-07T22:04:00.000Z-Eigenschaften11Beantworten

Bau doch die Eigenschaften mal in das Lemma ein! Dann kann jeder, der möchte, noch Veränderungen vornehmen--DelSarto (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-DelSarto-2012-03-11T09:49:00.000Z-Zaph-2012-03-07T22:04:00.000Z11Beantworten

Done --Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-14T22:13:00.000Z-DelSarto-2012-03-11T09:49:00.000Z11Beantworten

Fein! Danke. Ich freue mich darauf, die weitere Entwicklung des Lemmas verfolgen zu können.--DelSarto (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-DelSarto-2012-03-15T08:27:00.000Z-Zaph-2012-03-14T22:13:00.000Z11Beantworten

Habe noch etwas recherchiert. Da der Begriff "symmetrisches Polynom" bereits anderweitig belegt ist, habe ich überlegt, wie man ein Polynom mit symmetrischen Koeffizienten sonst noch nennen könnte. Dabei bin ich hierauf gestoßen: http://en.wikipedia.org/wiki/Palindromic_polynomial

Nicht ganz so schön finde ich den Begriff "quasi-symmetrisch", siehe: http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function#Quasi-symmetric_equations

Den Begriff "palindromisches Polynom" oder "Palindrompolynom" finde ich ganz nett - Google liefert aber nur wenig Treffer. Woran liegt das? Diese palindromischen Polynome sind doch eigentlich ideal für Aufgabenzettel einer Algebra-Einführungsvorlesung geeignet. Oder gibt es dafür noch einen anderen Begriff?

--Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-07T21:42:00.000Z-Palindromische Polynome11Beantworten

Bau es doch mal in das Lemma ein! Dann kann jeder, der möchte, noch Veränderungen vornehmen.--DelSarto (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-DelSarto-2012-03-08T11:55:00.000Z-Zaph-2012-03-07T21:42:00.000Z11Beantworten

Done --Zaph (Diskussion) Diskussion:Symmetrische Gleichung#c-Zaph-2012-03-14T22:12:00.000Z-DelSarto-2012-03-08T11:55:00.000Z11Beantworten