Diskussion:Potenzmenge

"Ist A eine endliche Menge mit n Elementen (n>1), dann hat P(A) 2^n Elemente."

Gilt doch auch für n=1 und sogar n=0, oder täusche ich mich da?

A={x} -> |A|=1 -> P(A) = 2 = { {x}, {} }

A={} -> |A|=0 -> P(A) = 1 = { {} }

das (n>1) kann imho raus.

Grüße, Florian

ja

Hallo, ist die Notation X* wirklich gebräuchlich? Ich glaube das eher nicht. X* bezeichnet normalerweise die Menge der Wörter über dem Alphabet X. Gruß von --Wasseralm 15:21, 19. Nov 2005 (CET)

Das "normalerweise" kommt auf den eigenen Hintergrund an. Für mich bedeutet ein Stern "normalerweise" Dualraum oder Urbildfunktor. Andere mögen ihn lieber zur Bezeichnung eines adjungierten Operators verwenden... Mein Eindruck ist, dass in moderner Literatur vorwiegend 2^X verwendet wird, X* habe ich jedenfalls auch noch nicht gesehen.--80.136.172.40 11:27, 28. Nov 2005 (CET)

Ich habe jetzt X* als Notation entfernt. Gruß von Wasseralm 23:04, 16. Dez 2005 (CET)

(bitte vergrößern evtl.) ℘ (nicht signierter Beitrag von 217.190.54.183 (Diskussion) 14:58, 22. Nov. 2006)

Siehe Antwort in der Diskussion zu Weierstraß, das ist hier falsch.--Gunther Diskussion:Potenzmenge#c-Gunther-2006-11-22T14:01:00.000Z-Was ist mit diesem Zeichen hier?11Beantworten

Siehe auch Weierstraß-p - warum ist das falsch? Grüße von Jón ₊ Diskussion:Potenzmenge#c-Jón-2008-04-15T21:31:00.000Z-Gunther-2006-11-22T14:01:00.000Z11Beantworten

Ich bin auch der Meinung, dass das ℘ hier erwähnt werden sollte. Es wird definitiv für die Potenzmenge benutzt(zumindest bei uns an der Uni) und ich sehe nicht, warum es falsch sein sollte. Nur, weil es noch eine andere Bedeutung hat, heißt das ja nicht, dass es nicht auch für die Potenzmenge verwendet werden kann...-- Der Hakawati Diskussion:Potenzmenge#c-Der Hakawati-2008-08-06T13:36:00.000Z-Gunther-2006-11-22T14:01:00.000Z11Beantworten

Ich hab das ℘ jetzt einfach mal ergänzt. Wenn jemand n Grund findet, warum es nicht gelistet werden sollte, kann mans ja immer noch rausschmeißen...-- Der Hakawati Diskussion:Potenzmenge#c-Der Hakawati-2008-08-11T15:03:00.000Z-Gunther-2006-11-22T14:01:00.000Z11Beantworten

Ich finds OK. Gruß, Wasseralm Diskussion:Potenzmenge#c-Wasseralm-2008-08-11T17:36:00.000Z-Der Hakawati-2008-08-11T15:03:00.000Z11Beantworten

Die Potenzmenge ist alle (Einzel-)Teile der Menge in allen möglichen Kombinationen. --91.35.190.50 Diskussion:Potenzmenge#c-91.35.190.50-2009-11-02T16:31:00.000Z-Erklärung für Nicht-Mathematiker11Beantworten

Ich hätte da eine Frage: Was ist, wenn man die Potenzierung fortsetzt ? Wenn die Potenzmenge der leeren Menge o P(o)=(o) ist, dann ist die Potenzmenge dieser Menge PP(o) = ((o)), und deren Potenzmenge PPP(o) = (((o))), und so weiter. Es entsteht eine Folge von unendlich vielen leeren Mengen, die man auch bei der Potenzierung von nichtleeren Mengen mitschleppen muss. Wird der Begriff der Potenzmenge dadurch nicht konterkariert ?(--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-03-04T16:50:00.000Z-Erklärung für Nicht-Mathematiker11)Beantworten

Deine Folge ist falsch. Und was wie womit konterkariert werden soll, ist unklar. --Daniel5Ko (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Daniel5Ko-2013-03-04T18:46:00.000Z-Dok21fie-2013-03-04T16:50:00.000Z11Beantworten

Stell dir ${\displaystyle \emptyset }$ einfach als leeren Sack vor, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )}$ ein Sack, in dem ein leerer Sack ist. (Weil ein leerer Sack drin ist, ist er selber ja nicht leer.) Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\emptyset ))}$ ein Sack mit zwei Säcken darin, einer leer und im anderen ist ein leerer Sack usw. ... kann man gut mit Einkaufstüten nachspielen. -- HilberTraum (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-HilberTraum-2013-03-05T16:50:00.000Z-Dok21fie-2013-03-04T16:50:00.000Z11Beantworten

Danke, habe ich verstanden. Dann schleppe ich also immer leere Säcke in vielen leeren Säcken mit mit herum.(--Dok21fie (Diskussion) 16:42, 7. Mär. 2013 (CET)) Nur wenn man definiert, P(0) = 0, also: die Potenzmenge der leeren Menge ist die leere Menge, erhält man die anderweitig bewiesene Aussage : Es gibt nur eine leere Menge.(--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-03-07T15:42:00.000Z-Erklärung für Nicht-Mathematiker11)Beantworten

Dann hast du es doch nicht verstanden: Wichtig ist, dass ein Sack nicht leer ist, wenn ein leerer Sack darin ist. Und ja, es gibt "nur eine leere Menge". Da hinkt natürlich das Veranschaulichung mit den Säcken, weil es verschiedene leere Säcke gibt. -- HilberTraum (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-HilberTraum-2013-03-11T20:19:00.000Z-Dok21fie-2013-03-07T15:42:00.000Z11Beantworten

Versuche einmal, die Menge A = ( a ) 5 mal zu potenzieren. (--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-03-17T14:14:00.000Z-Erklärung für Nicht-Mathematiker11)Beantworten

Versuch's doch selbst. Tipp: Die Anzahl der Elemente im Dezimalsystem hingeschrieben ist eine Zeichenfolge der Länge 19729. --Daniel5Ko (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Daniel5Ko-2013-03-17T15:10:00.000Z-Dok21fie-2013-03-17T14:14:00.000Z11Beantworten

Och, das ist aber schon ein bisschen gemein :-) Jetzt werden wir laaaaange nichts mehr von Dok21fie hören ... -- HilberTraum (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-HilberTraum-2013-03-17T20:42:00.000Z-Daniel5Ko-2013-03-17T15:10:00.000Z11Beantworten

Ich habe nichts dagegen, wenn Ihr nach dem 4ten Mal aufhört. Dann sind es nur 65536 Elemente. Und wieviel davon sind eingeklammerte leere Mengen ? (--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-03-20T15:25:00.000Z-Erklärung für Nicht-Mathematiker11)Beantworten

Mit Maple kannst du die "4. Potenzmenge" von ${\displaystyle \{a\}}$ schreiben als:

(combinat:-powerset@@4)({a});

Weil das ein bisschen länglich wird, hier das Ergebnis mit 3 statt 4

 {{}, {{}}, {{{}}}, {{{a}}}, {{{}, {a}}}, {{}, {{}}}, {{}, {{a}}},
    {{}, {{}, {a}}}, {{{}}, {{a}}}, {{{}}, {{}, {a}}}, {{{a}}, {{}, {a}}},
    {{}, {{}}, {{a}}}, {{}, {{}}, {{}, {a}}}, {{}, {{a}}, {{}, {a}}},
    {{{}}, {{a}}, {{}, {a}}}, {{}, {{}}, {{a}}, {{}, {a}}}}

-- HilberTraum (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-HilberTraum-2013-03-20T20:46:00.000Z-Dok21fie-2013-03-20T15:25:00.000Z11Beantworten

Danke. Ich zähle also in nur 16 Elementen 24 Leere Mengen. Das scheint mir für den praktischen Gebrauch sinnlos. Wenn wir uns von den inhaltleeren Leeren Mengen befreien, und zulassen, dass die Potenzmengen einer Menge von n Elementen nur (2 hoch n)-1 Elemente hat, dann erhalten wir einfach PPP( a ) = (((( a )))). Doch das ist natürlich nicht allgemein anerkannt.(--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-03-21T14:52:00.000Z-Erklärung für Nicht-Mathematiker11)Beantworten

Du kannst natürlich problemlos einen "neuen" Potenzmengenoperator definieren, indem du sagst du bildest die Menge aller nichtleeren Teilmengen. Aber versprich dir nicht allzu große "Vorteile" davon: Deine Überlegung gilt ja nur für Mengen ${\displaystyle \{a\}}$ mit einem Element und die sind ja irgendwie eh nicht so spannend. Schon wenn du von ${\displaystyle \{a,b\}}$ ausgehst, haben deine "neuen" Potenzmengen 3, 7, 127, ${\displaystyle \approx 10^{38}}$ usw. Elemente. -- HilberTraum (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-HilberTraum-2013-03-21T19:20:00.000Z-Dok21fie-2013-03-21T14:52:00.000Z11Beantworten

Und das sind erheblich weniger Elemente als in der Cantor-Zermelo-Potenz: 4 , 16 , 65536 , ~10 hoch 19728 . Man sieht, dass auch hier die Anzahl der Leeren Mengen die der nichtleeren um Größenordnungen übersteigt. (--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-03-23T14:01:00.000Z-Erklärung für Nicht-Mathematiker11)Beantworten

Die Formel |P(X)| = 2^|X| sowie der Satz von Cantor gelten beide jeweils für ALLE Mengen. Insofern ist die Unterscheidung endlich/unendlich in dem Abschnitt über Kardinalität unsinnig, wenn ich das richtig sehe.(unbek.Autor) Es gibt aber eine wesentliche Einschränkung : sie gilt nur für Mengen unterscheidbarer Elemente. Also nicht für Multimengen. Dass man die Leere Menge als Element der Potenzmenge ausschließen sollte, ist eine weitere Forderung einiger Autoren. Also: M(P(X)) = (2 hoch M(X)) - 1. (--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-04-01T14:02:00.000Z-Kardinalität11)Beantworten

Die Idee, dass manche Autoren die leere Menge aus der Potenzmenge ausschließen, habe ich -- außer in der Diskussion oben von dir selbst -- noch nie gehört. Ich würde mir wirklich wünschen, du könntest diese Diskussionen an der Stelle führen, die extra dafür geschaffen worden ist, nämlich Portal Diskussion:Mathematik. Wahrscheinlich wäre es aber noch besser, du suchtest dir ein „lebendiges Gegenüber“ in der Form eines „Mathematiker deines Vertauens“, mit dem du das besprichst.--Mini-floh (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Mini-floh-2013-04-01T14:47:00.000Z-Dok21fie-2013-04-01T14:02:00.000Z11Beantworten

Ich danke für den Hinweis, dass die von mir betrachteten Mengen in der modernen Terminologie Klassen sind.(--Dok21fie (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Dok21fie-2013-04-06T14:56:00.000Z-Kardinalität11)Beantworten

Wie macht das Sinn?

${\displaystyle \inf(\emptyset )=X}$

Vielleicht ist hier eine Erläuterung angebracht.

Die definierende Eigenschaft für Infima ist: ${\displaystyle z\leq \inf(M)\iff \forall m\in M.\,z\leq m}$, für alle ${\displaystyle z\in {\mathcal {P}}(X)}$ und alle ${\displaystyle M\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$.

Im Fall ${\displaystyle M=\emptyset }$ haben wir also: ${\displaystyle z\leq \inf(\emptyset )}$ für alle ${\displaystyle z\in {\mathcal {P}}(X)}$, insbesondere für ${\displaystyle z=X}$.

Welche "Erläuterung" dir vorschwebt, ist unklar. Unterschiedliche Menschen lernen mit unterschiedlichem Vorwissen. Was zu beweisen ist, um die Behauptung nachzuvollziehen, sollte aber klar sein. --Daniel5Ko (Diskussion) Diskussion:Potenzmenge#c-Daniel5Ko-20240627000000-Vollständiger Verband11Beantworten