Diskussion:Laguerre-Polynome

Hallo,

es gibt glaub ich zwei verschiedene Definitionen der zugehörigen Laguerre-Polynome;

(1) ${\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k}\,{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\,L_{n+k}(x)}$ und

(2) ${\displaystyle L_{n}^{k}(x)={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\,L_{n}(x)}$

In diesem Artikel wird (1) verwendet, aber ich glaube die angegebene DGL

${\displaystyle x\,y''(x)+(k+1-x)\,y'(x)+(n-k)\,y(x)=0,\qquad n=0,1,\ldots \qquad k\leq n.}$

gehört zu (2).

Meiner Meinung nach müsste die DGL lauten

${\displaystyle x\,y''(x)+(k+1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0,\qquad n=0,1,\ldots \qquad k\leq n.}$

Wäre nett, wenn das jemand überprüfen könnte :-)

Gruß

Stefan

--84.155.217.101 Diskussion:Laguerre-Polynome#c-84.155.217.101-2008-08-25T10:50:00.000Z11Beantworten

Stimmt! siehe mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html

--78.49.106.60 Diskussion:Laguerre-Polynome#c-78.49.106.60-2009-11-23T19:39:00.000Z11Beantworten

Hallo, gibt es einen Grund dafür, dass bei der letzten Gleichung (vollständige Wellenfunktion) der Drehimpuls L verwendet wird, während bei der Gleichung darüber (Radialanteil) die Bahndrehimpulsquantenzahl l verwendet wird? Meiner Kenntnis nach ist die Bahndrehimpulsquantenzahl l korrekt, siehe bspw. [1]. Auch ist die Verwendung des Drehimpulses unsinnig, da dieser nicht einheitenlos und somit als Index/Exponent nicht verwendbar ist. Ich werde den entsprechenden Teil dahingehend ändern. -- Jan Krieg Diskussion:Laguerre-Polynome#c-Jan Krieg-2010-01-17T20:23:00.000Z11Beantworten

Im Artikel Orthogonale_Polynome#Liste_von_orthogonalen_Polynomen werden die Laguerre-Polynome (mit Verweis auf diesen Artikel) als orthogonale Polynome aufgeführt, in diesem Artikel wird darauf jedoch nicht mehr eingegangen.

Kann man die Eigenschaft, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bzgl. des Skalarprodukts ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}f(x)g(x)\mathrm {d} x}$ (vgl. z. B. http://www.mathematik-online.org/inhalt/aussage/aussage408/ oder http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalPolynomials.html) noch nachtragen (ähnlich wie bei Legendre-Polynom#Eigenschaften)?

-- 129.69.116.64 Diskussion:Laguerre-Polynome#c-129.69.116.64-2011-03-10T14:47:00.000Z-Laguerre-Polynome als orthogonale Polynome11Beantworten

Was soll die Angabe der Bedingung ${\displaystyle k\leq n}$ bedeuten? Die Polynome mit ${\displaystyle k>n}$ erfüllen doch auch die zugeordnete Laguerre-Gleichung. -- Arkonia (Diskussion) Diskussion:Laguerre-Polynome#c-Arkonia-2013-02-21T14:39:00.000Z-zugeordnete Laguerre-Polynome11Beantworten

Im letzten Abschnitt "Wasserstoffatom" wird für die zugeordneten Laguerre-Polynome die Notation ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{...}^{...}}$, im restlichen Artikel dagegen ${\displaystyle L_{...}^{...}}$. Gibt es dafür einen besonderen Grund? --Zesel Diskussion:Laguerre-Polynome#c-Zesel-2013-06-01T15:26:00.000Z-Schreibweisen, Definitionen11Beantworten

Ist ${\displaystyle L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)}$ wirklich eine etablierte Schreibweise? --188.98.211.164 Diskussion:Laguerre-Polynome#c-188.98.211.164-2019-05-30T05:40:00.000Z-Orthogonale Polynome11Beantworten

Ja, denn betrachtet man die Laguerre-Differentialgleichung in der Theorie des Sturm-Liouville-Problems, dann sind die Laguerre-Polynome quadratintegrierbare Eigenfunktionen auf einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ausgestattet mit einem Gewicht ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-x}}$, so dass gilt: ${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x}$ bleibt beschränkt.

Grüsse --LoRo (Diskussion) Diskussion:Laguerre-Polynome#c-LoRo-2019-05-30T10:45:00.000Z-Orthogonale Polynome11Beantworten