Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation

Neues unten↓ ~ Stündle (Kontakt) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-Stündle-2011-01-19T14:19:00.000Z-Normierungskonstanten11Beantworten

Nach (Meffert,Beate: Werkzeuge der Signalverarbeitung, S. 145) wird die kontinuierliche Fouriertransformation als kontinuierlich bezeichnet, da das erzeugte Spektrum eine kontinuierliche Funktion ist. Analog lässt sich laut diesem Buch mit ${\displaystyle F(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}e^{-j\omega {}nT_{a}}}$ auch ein kontinuierliches Spektrum eines diskreten Signals ${\displaystyle f_{n}}$ berechnen. Sollte die Definition diesbezüglich umgestellt und die zusätzliche Möglichkeit hinzugefügt werden?--EvNu Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-EvNu-2009-07-14T15:57:00.000Z-Fouriertransformation diskreter Signale11Beantworten

Nein, das steht schon unter Fourier-Reihe. Eine Fourier-Reihe ergibt eine periodische Funktion mit unendlicher "Energie", während eine kontinuierliche FT Funktionen endlicher "Energie" in Funktionen endlicher "Energie" transformiert. "Energie" ist das Integral über das Betragsquadrat über die gesamte reelle Achse.--LutzL Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-LutzL-2009-07-14T16:26:00.000Z-EvNu-2009-07-14T15:57:00.000Z11Beantworten

Den Hinweis verstehe ich leider nicht richtig. Habe ich etwas in dem Artikel über die Fourier-Reihe übersehen? AFAIK gilt für ${\displaystyle F(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}e^{-j\omega {}nT_{a}}}$ auch das Parsevalsche Theorem. Ich hätte noch oben hinzufügen sollen, das ${\displaystyle f_{n}}$ den Signalvektor darstellt. --EvNu Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-EvNu-2009-07-15T12:27:00.000Z-LutzL-2009-07-14T16:26:00.000Z11Beantworten

1. Wieso soll hier nur das reelle Spektrum der Fouriertransformierten physikalisch relevant sein? Wenn man den Imaginärteil der Fouriertransformierten entfernt, dann hat man nur noch Informationen ueber den *geraden* Anteil der ursprünglichen Funktion, was aber nicht Sinn und Zweck der Transformation hier sein konnte! Ich denke eher das Betragsspektrum der Fouriertransformierten ist relevant. 2. Die komplexe Umschreibung von ${\displaystyle f(t)=x_{0}e^{-dt}\cos(\omega _{s}t)}$ lautet: ${\displaystyle f(t)=x_{0}e^{-dt}*1/2(e^{\mathrm {i} \omega _{s}t}+e^{-\mathrm {i} \omega _{s}t})}$ 3. Die Einführung der Konstanten d ist etwas unglücklich gewählt, da hier Verwechslungsgefahr mit dt als infinitesimales Element und dt im Exponenten von e besteht. --ThiloSchulz Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-ThiloSchulz-2006-11-23T15:03:00.000Z-Beispiel zur kontinuierlichen Fouriertransformation IMHO falsch11Beantworten

Ich habe die gegebene Funktion korrekt fouriertransformiert, noch ohne große Interpretationen, damit wenigstens nichts falsches drinnen steht. --ThiloSchulz Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-ThiloSchulz-2006-12-01T13:32:00.000Z-ThiloSchulz-2006-11-23T15:03:00.000Z11Beantworten

Es mag Klinkefiesterei von mir sein, aber der Richtigkeit halber meckere ich Zeile 12 der Tabelle an: Es heißt dort: ${\displaystyle \mathrm {sinc} (at)\equiv {\frac {\mathrm {sin} (at)}{at}}\,}$. Das ist falsch, und zwar für t = 0, wo Zähler und Nenner gleichermaßen 0 werden. Die Kardinalsinus- oder sinc- Funktion, wie auch im zugehörigen Artikel sinc-Funktion ist vielmehr die stetige Ergänzung von ${\displaystyle {\frac {\mathrm {sin} (at)}{at}}\,}$, was möglich ist, weil beide Seiten der Funktion (von t = 0 aus) denselben Limes haben.--Slow Phil Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-Slow Phil-2007-04-13T12:55:00.000Z-Falsches Identitätszeichen11Beantworten

Ich habe das Beispiel gut nachempfinden/rechnen können. Aber die Frage, die sich mir stellt ist: Was sagt das Ergebnis aus?

Mir scheint, als sei der Faktor ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ in den FT der Formeln 8 und 9 an der falschen Stelle. Kann das mal jemand nachprüfen? (nicht signierter Beitrag von 130.79.152.186 (Diskussion | Beiträge) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-130.79.152.186-2009-06-04T11:32:00.000Z-FT von Gl. 8 und 9 vertauscht?11) Beantworten

Sieht so gut aus. In G.F steckt der Faktor zweimal drinne, in der FT des Faltungsproduktes f*g nur einmal, deshalb die Korrektur mit dem inversen Faktor.--LutzL Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-LutzL-2009-06-04T12:16:00.000Z-130.79.152.186-2009-06-04T11:32:00.000Z11Beantworten

Diese Ungleichung heißt doch Hausdorff-Young-Ungleichung, oder?

Christian (nicht signierter Beitrag von 77.2.159.174 (Diskussion | Beiträge) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-77.2.159.174-2009-10-29T17:19:00.000Z-Housdorff-Young-Ungleichung11) Beantworten

Stimmt, ist geändert. -- Jan Krieg Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-Jan Krieg-2009-12-15T17:26:00.000Z-77.2.159.174-2009-10-29T17:19:00.000Z11Beantworten

Die Normierungkonstante für die FT von Maßen ist zwar die in der W-Theorie übliche. Sie ist aber nicht konsistent mit den Konventionen des Restes des Artikels. Das wird offensichtlich am Beispiel der Delta-Distribution. Die FT der Delta-Distribution delta_a unterscheidet sich von der des Dirac-Maßes delta_a (beides ist natürlich ein und dasselbe) um einen Faktor. MatheProfBonn, 11.03.10. (nicht signierter Beitrag von 80.136.85.196 (Diskussion | Beiträge) 21:31, 11. Mär. 2010 (CET)) (Nach unten verschoben ~ Stündle (Kontakt) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-80.136.85.196-2010-03-11T20:31:00.000Z-Normierungskonstanten 211)Beantworten

Und wo ist da jetzt ein Problem? Der Artikel verwendet durchgängig die Faktoren der unitären Transformation und an einigen Stellen, in denen (vielleicht nicht deutlich genug) darauf hingewiesen wird, wird auf die in speziellen Gebieten abweichenden Vorfaktoren eingegangen.--LutzL Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-LutzL-2011-01-19T15:25:00.000Z-80.136.85.196-2010-03-11T20:31:00.000Z11Beantworten

Vielleicht wäre es ganz sinnvoll einen eigenen Abschnitt zum Thema Normierungskonstanten zu schreiben und warum welche Normierung sinnvoll erscheint. Im Abschnitt "Definition", der von Mathematikstudenten im dritten Semester und von Physikstudenten aus dem zweiten? Semester verstanden werden soll, von Pseudodifferentialoperatoren zu sprechen ist schon unglücklich und dort dann die Rücktransformation hinzuknallen ist vielleicht auch nicht so gut. --Christian1985 (Diskussion) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-Christian1985-2011-01-19T15:39:00.000Z-LutzL-2011-01-19T15:25:00.000Z11Beantworten

Naja, der Faktor taucht ja erst in der Rücktransformation auf. Ist dann aber nicht mehr konsistent mit den anderen abgesetzten Formeln. Für größte Allgemeinheit kann man ja das Transformationspaar als

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=B\cdot \int _{\mathbb {R} }f(x)\,e^{-iA\,xt}\,dx}$ und ${\displaystyle f(x)=C\cdot \int _{\mathbb {R} }{\hat {f}}(t)\,e^{iA\,xt}\,dt}$

definieren mit der Bedingung ${\displaystyle BC=(A/(2\pi ))^{n}}$. Im allgemeinen FT-Artikel ist das etwas besser gelöst. Evtl. Formulierungen von dort übernehmen.--LutzL Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-LutzL-2011-01-19T17:52:00.000Z-Christian1985-2011-01-19T15:39:00.000Z11Beantworten

Gibt es für die verschiedenen Konventionen keine Bezeichnungen? Speziell die Variationen um die Kreisfrequenz ω können Menschen mit mäßigen Detailkenntnissen zur Theorie der FT leicht aus dem Konzept bringen.

Danke ~ Stündle (Kontakt) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-Stündle-2011-01-19T18:15:00.000Z-Konventionen11Beantworten

PS: Lese gerade den Begriff "unitäre Transformation" im Abschnitt eins drüber

Die Dichtefunktion ${\displaystyle \varphi _{0;1}(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},x\in \mathbb {R} ^{n}}$ der (${\displaystyle n}$-dimensionalen) Gauß'schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fouriertransformation. Das heißt, es gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Gleichung

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\varphi _{0;1})(x)=\varphi _{0;1}(x)}$.

???sollte die Dichte nicht ohne Hoch-n sein??? ${\displaystyle \varphi _{0;1}(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (nicht signierter Beitrag von Projoe (Diskussion | Beiträge) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-Projoe-2011-02-16T11:00:00.000Z-Fixpunkt11) Beantworten

Ich habe auf der Diskussionsseite der Fourier-Transformation einen Vorschlag gemacht, die Artikel rund um die Fourier-Transformation neu zu benennen, und bitte dort um Meinungen. --Christian1985 (Diskussion) Diskussion:Kontinuierliche Fourier-Transformation#c-Christian1985-2011-05-11T15:22:00.000Z-Verschiebungen und Umbau der Artikel rund um die Fourier-Transformation11Beantworten