Diskussion:Hodge-Stern-Operator

Mit der Definition habe ich Probleme: In Hodge-Stern-Operator auf Vektorräumen kann der Hodge-Stern-Operator nichts induzieren, wenn er noch nicht definiert ist. Es ist doch vielmehr so, dass durch die angegebenen Formeln ein Basis-unabhängiger Operator definiert wird, der dann Hodge-Stern-Operator genannt wird. Das sollte entsprechend umformuliert werden.--FerdiBf Diskussion:Hodge-Stern-Operator#c-FerdiBf-2008-10-08T19:53:00.000Z-Zur Definition11Beantworten

Wenn ich mich nicht täusche, dann braucht man für die Definition des Hodge-Sterns auf einem Vektorraum nicht nur ein Skalarprodukt, sondern auch eine Orientierung. Die Orthonormalbasis in der Definition muss positiv orientiert sein. Um * festzulegen, muss man entweder die Bedingung

${\displaystyle *(e^{1}\wedge e^{2}\wedge \cdots \wedge e^{k})=e^{k+1}\wedge e^{k+2}\wedge \cdots \wedge e^{n}}$

für jede positiv orientierte ONB fordern, oder man muss alle ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen der ONB betrachten: Für jede gerade Permutation ${\displaystyle \sigma }$ von ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ gilt:

${\displaystyle *(e^{\sigma (1)}\wedge e^{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (k)})=e^{\sigma (k+1)}\wedge e^{\sigma (k+2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (n)}}$

-- Digamma Diskussion:Hodge-Stern-Operator#c-Digamma-2010-09-23T18:31:00.000Z-Orientierung11Beantworten

Stimmt. Ich probiere mich mal an der Korrektur. --Christian1985 ( Diskussion:Hodge-Stern-Operator#c-Christian1985-2010-09-24T00:05:00.000Z-Digamma-2010-09-23T18:31:00.000Z11Beantworten

Ich habe die Definition überarbeitet. -- Digamma Diskussion:Hodge-Stern-Operator#c-Digamma-2010-10-07T20:09:00.000Z-Christian1985-2010-09-24T00:05:00.000Z11Beantworten

Vergleiche: http://www.dr-gert-hillebrandt.de/mathe_uni.htm und http://www.dr-gert-hillebrandt.de/pdf/Universitaet/Mathe/Der%20Stern-Operator.pdf (nicht signierter Beitrag von 77.8.136.118 (Diskussion) Diskussion:Hodge-Stern-Operator#c-77.8.136.118-2015-03-26T11:22:00.000Z-Orientierung11)Beantworten

Ich kopiere hier mal den auf der Vorderseite von einer IP eingefǘgten Text:

Warum wird nur der euklidische Fall betrachtet und warum wird nicht die Natürlichkeit der normierten Volumenform zur Definition herangezogen?

${\displaystyle *(e^{\sigma (1)}\wedge e^{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (k)})=Vol(e_{\sigma (1)},e_{\sigma (2)},\dots ,e_{\sigma (k)},\cdot ,\dots ,\cdot )}$

Vol enthält den Faktor sgn(g)! sgn = Signatur. Warum macht ihr euch das so schwer?

--Kamsa Hapnida (Diskussion) Diskussion:Hodge-Stern-Operator#c-Kamsa Hapnida-2015-03-26T13:26:00.000Z-Einfugung einer IP11Beantworten

Antwort: Man braucht das Skalarprodukt, um (bei dieser Definition) die Indizes runterzuziehen. Die Volumenform reicht nicht aus. --Digamma (Diskussion) Diskussion:Hodge-Stern-Operator#c-Digamma-2015-03-26T21:20:00.000Z-Kamsa Hapnida-2015-03-26T13:26:00.000Z11Beantworten

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