Diskussion:Fundamentalsatz der Arithmetik

Ehrlich gesagt habe ich den Beweis noch nicht ganz verstanden. Kann ihn jemand für mich konkretisieren? Stern !? 18:56, 22. Aug 2004 (CEST)

Danke, das war die Lücke, die mir fehlte, um den Beweis zu vervollständigen.

Ich bekomme ihn formal jetzt nicht auf die Reihe, aber der geht ungefähr so:

Wir haben die Zahl n. Ist n prim, ist n allein selbst die Zerlegung. Sonst gibt es zwei Zahlen n1 und n2 beide mit 1<n1<n und 1<n2<n, so dass n1*n2=n Mit n1 und n2 verfährt man weiter wie mit n.

Im Prinzip kann der Beweis so geführt werden. Zahlen n1, n2 mit n1*n2 = n gibt es, da es einen Teiler 1 < t < n von n geben muss (n ist nicht prim). Mit t=n1 und n2=n/t hat man Zahlen mit dieser Eigenschaft gefunden. n1, n2 sind mindestens um einen Faktor 2 kleiner als n. Falls n b Bit besitzt hat man eine Zerlegung in höchsten b Schritten gefunden.

Die Eindeutigkeit der Lösung ist nicht so trivial zu beweisen. Franz Scheerer

Anmerkung:

Dies gilt nur für Zusammengesetzte Zahlen.

Eine Primzahl ist nicht zerlegbar, da sie sonst nicht eindeutig zerlegbar wäre. (1 mal 1 mal 1 mal p).

Nein, die Zerlegung besteht nur aus Primzahlen (Die 1 ist keine Primzahl !). Für eine Primzahl besteht die triviale Zerlegung nur aus einem Faktor, der Primzahl selbst (p = p und nichts weiter).

Einen Faktor 1 könnte man natürlich immer anfügen, so dass die Zerlegung mit der 1 generell nicht eindeutig wäre.

--MaxP0W3R 01:25, 29. Jul 2005 (CEST)

Das ist keine Primfaktorzerlegung, da 1 keine Primzahl ist. Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl ist ein Produkt mit genau einem Faktor, nämlich der Primzahl selbst. Die Primfaktorzerlegung von 1 ist das leere Produkt (mit gar keinem Faktor), das definitionsgemäß gleich dem neutralen Element der Multiplikation ist. 80.81.1.63 18:27, 29. Jul 2005 (CEST)

Zunächst können nur Zahlen größer eins in Primfaktoren zerlegt werden. Um eine eindeutige Zerlegung oder besser Darstellung aller Brüche zu erhalten ist es aber sinnvoll für die 1 und 0 als "Zerlegung" dies Zahl selbst zu definieren. Für negative Zahlen wird das Minuszeichen vorangestellt. Da die Zerlegung eindeutig ist erhält man durch kürzen aller gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner eine eindeutige Darstellung aller Brüche.

Franz Scheerer

Äh, irgendwie erkenne ich jetzt nicht, wo überhaupt der Gaußsche Beweis hier angegeben ist. Hier ist nur auf den Analogieschluß zu David Hilberts Beispiel verwiesen. Zum besseren Verständnis wäre es notwendig wenigstens einen Link auf den Gaußschen Beweis zu bringen.--Löschfix 22:48:00, 23. Aug 2005 (CEST)

Hallo, was ich nicht verstehe ist, warum 1<b=n/a < n anstatt 1<b=n/a = n...müßte es dann nicht eher heißen: 1<((b=n/a)=n), da ja bereits angegeben wurde, daß n=ab. Sorry, bin noch neu, aber vielleicht kann mir da mal jemand auf die Sprünge helfen...

Genau den Punkt verstehe ich nicht so unmittelbar: Wieso wäre ein rein multiplikativer Eindeutigkeitssatz für ${\displaystyle \mathbb {N} }$ bereits ein eben solcher für H?--JFKCom 22:28, 25. Nov 2005 (CET)

Mit H werden hier die natürlichen Zahlen mit

x mod 3 = 1

bezeichnet. Multipliziert man zwei Zahlen x,y aus H erhält man wieder eine Zahl aus H.

(3x+1)*(3y+1) = 9xy + 3x + 3y +1 = 3 (3xy + x + y) + 1

H enthält auch das neutrale Element der Multiplikation e=1 mit x*e = e*x = x für alle x aus H. Selbstverständlich gilt auch das Kummunikativgesetz x*y = y*x und das Assoziativgesetz (xy)z=x(yz).

Da für die Multiplikation in H also die gleichen Gesetze gelten, könnte man einen Beweis in den natürlichen Zahlen, der nur die Multiplikation verwendet, genau so auch in H anwenden. Da in H die Zerlegung in "H-Primzahlen" jedoch nicht eindeutig ist (25*4 = 10*10) wäre an einem solchen Beweis wohl etwa faul.

Franz Scheerer

Mir scheint dass am Ende des Beweises noch eine Lücke ist. Es wird bewisen dass ein Faktor der Zerlegung in p_1*p_2*... auch in q_1*q_2... auftaucht, und umgekehrt. Für Primfaktoren, die in der Zerlegung nur einfach auftauchen reicht das.

Für Primfaktoren die mehrach vorkommen (etwa 4=2*2 in 12) nicht, oder? Man betrachte etwa das Beispiel 2*2*3 und 2*3*3 [natürlich haben die beiden Produkte nicht den selben Wert, der Satz gilt ja bekanntermassen - aber für ein Gegenbeispiel dieses Beweisschrittes tut es]. Der Beweis stellt korrekterweise fest dass Primfaktoren des ersten Produkts auch im Zweiten sind, und Faktoren des zweiten auch im Ersten. Über die Anzahl wird aber nichts ausgesagt. --Khong Diskussion:Fundamentalsatz der Arithmetik#c-Khong-2008-01-31T14:57:00.000Z-Lücke am Ende des Beweises?11Beantworten

Interessanter Einwand, aber der Beweis hat trotzdem keine Lücke; Erklärung:

n = p1 * p2 * ... * pn = q1 * q2 * ... * qm (mit p_i, q_i sind prim). Betrachtet man den ersten Faktor p1 und die Gleichheit beider Produkte ergibt sich daraus, dass das Q-Produkt (nachstehend Q genannt) durch p1 geteilt werden kann, also einer der Faktoren von Q identisch ist mit p1. Teil man nun sowohl das P-Produkt, als auch Q durch p1 bleibt logischerweise die Gleichheit erhalten es fehlen jeweils nur die entsprechenden Faktoren p1 und das Q-Äquivalent. Nun betrachtet man p2 und sieht, Q muss auch weiterhin durch p2 teilbar sein, so geht man weiter vor bis man alle Faktoren durch hat. -- 77.9.157.135 Diskussion:Fundamentalsatz der Arithmetik#c-77.9.157.135-2008-05-11T15:16:00.000Z-Khong-2008-01-31T14:57:00.000Z11Beantworten

zu Primfaktorzerlegung, denn dort wird der Satz im Kontext dargestellt, der Beweis ist dort schon verständlicher und aufs Wesentliche reduziert, der geschichtliche Kram passt dort auch noch in einen Satz. Interwikis bleiben natürlich hier drin. Einwände? --χario Diskussion:Fundamentalsatz der Arithmetik#c-Xario-2008-07-06T19:02:00.000Z-Ich setz nen Redir11Beantworten