Diskussion:Cartan-Unteralgebra

Hallo Leute, eine kurze Frage:

Die Liealgebra der gruppe SL_n (egal ob reell oder komplex) ist ja durch die spurlosen Matrizen gegeben. Die Cartan-Unteralgebra davon ist eine Lie-Unteralgebra der sl_n, trivialerweise. Müssten dann nicht

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$

so sein:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$?

--Wylewyle (Diskussion)

Ja, so steht es ja auch im Artikel.—Godung Gwahag (Diskussion) Diskussion:Cartan-Unteralgebra#c-Godung Gwahag-2018-07-29T13:16:00.000Z-Cartan-Subalgebra von sl 2(R)11Beantworten

Ja, jetzt schon. --Wylewyle (Diskussion) Diskussion:Cartan-Unteralgebra#c-Wylewyle-2018-08-03T17:36:00.000Z-Godung Gwahag-2018-07-29T13:16:00.000Z11Beantworten

Im Artikel steht:

Dagegen hat ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$

und

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$.

Jedoch ist:

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}}\right)^{-1}\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}}\right)}$.

Oder sehe ich da etwas falsch? Wohl ist mit konjugiert etwas anderes hier gemeint?--Wylewyle (Diskussion) Diskussion:Cartan-Unteralgebra#c-Wylewyle-2018-08-03T17:28:00.000Z-Nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren11Beantworten

Im Artikel steht, sie sollen konjugiert sein unter der Gruppe, die von ${\displaystyle exp(ad(X))}$ erzeugt wird, das ist eine Lie-Gruppe und wahrscheinlich (habe ich jetzt nicht überprüft) isomorph zu einer Untergruppe der zugehörigen Lie-Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$. Deine Konjugationsmatrix hingegen ist aus der Lie-Algebra.—Godung Gwahag (Diskussion) Diskussion:Cartan-Unteralgebra#c-Godung Gwahag-2018-08-03T17:35:00.000Z-Wylewyle-2018-08-03T17:28:00.000Z11Beantworten

Stimmt, danke dir. Habe ich (peinlicherweise) selber im Artikel vermerkt, Denkfehler. --Wylewyle (Diskussion) Diskussion:Cartan-Unteralgebra#c-Wylewyle-2018-08-03T17:40:00.000Z-Godung Gwahag-2018-08-03T17:35:00.000Z11Beantworten