Diskussion:Aperiodischer Grenzfall

Was ist x,k,D?

Bitte Autor dieser Formel noch die unbekannten angeben. X=Ort? D=Federkonstante? k=?

Die Aussage Dem aperiodischen Grenzfall entspricht ein Gütefaktor von Q = 0,5 ist nicht ganz richtig, da beim gedämpften harmonischen Oszillator die Güte wie folgt definiert ist :

${\displaystyle Q=\omega \tau }$

Im aperiodischen Grenzfall ist die Kreisfrequenz exakt null, und damit ebenso die Güte (Im aperiodischen Grenzfall ist ja der Oszillator maximal gedämpft, muss also die schlechteste Güte besitzen). Ist die Dämpfungskonstante ${\displaystyle \tau }$ groß gegenüber der Eigenfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}}$, kann man mit der Kreisfrequenz des gedämpften harmonischen Oszillators

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\frac {1}{4\tau ^{2}}}}}}$

eine einfache Näherung der Güte angeben:

${\displaystyle Q\approx \omega _{o}\tau }$

Setzt man nun die Bedingung für den aperiodischen Grenzfall

${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {1}{4\tau ^{2}}}\Leftrightarrow \tau ={\frac {1}{2\omega _{0}}}}$

ein, so kommt man auf den (genäherten) Wert der Güte von

${\displaystyle Q\approx \omega _{0}\tau ={\frac {\omega _{0}}{2\omega _{0}}}=0,5}$

was natürlich die Näherung überstrapaziert.

Falls jemand die betreffende Stelle nicht ändert, werde ich dies beizeiten erledigen.

--Gnuke Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Gnuke-2007-09-25T13:58:00.000Z-Gütefaktor des aperiodischen Grenzfalls11Beantworten

Nein, im aperiodischen Grenzfall ist der Oszillator eben nicht maximal gedämpft sondern gerade so stark das keine Überschwingung mehr statt findet. Q = 0 ist dafür falsch. --Cjesch Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Cjesch-2007-09-27T08:03:00.000Z-Gnuke-2007-09-25T13:58:00.000Z11Beantworten

maximal war das falsche Wort, optimal sollte da stehen - aber ich fände es schön, wenn du die Zahl Q = 0,5 begründen würdest --Gnuke Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Gnuke-2007-09-30T13:42:00.000Z-Cjesch-2007-09-27T08:03:00.000Z11Beantworten

Schau dir dazu die englischen Artikel en:Damping und en:Q factor an, da steht es drin. --Cjesch Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Cjesch-2007-10-01T09:03:00.000Z-Gnuke-2007-09-30T13:42:00.000Z11Beantworten

Hmm ... da steht ohne Begründung, dass der aperidodische Grenzfall eine Güte von 0,5 besitzt, was aber gerade der Definition oben drüber widerspricht - ${\displaystyle Q=\omega \cdot \ldots }$ ist im aperiodischen Grenzfall auf jedenfall Null, weil die Frequenz verschwindet; wenn ich wieder in der Uni bin, schaue ich mal, was Gerthsen und Demtröder dazu sagen. Meine Definition oben von zu ${\displaystyle Q=\omega \tau }$ ist übrigens aus dem Otten. --Gnuke Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Gnuke-2007-10-01T23:05:00.000Z-Cjesch-2007-10-01T09:03:00.000Z11Beantworten

Oki, dann in ausführlich. Das folgende stammt aus dem Stöcker, wird im Gerthsen in Kap 4.1 ebenfalls behandelt.

${\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+cx=0}$

ergibt eine allgemeine Lösung von

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\delta t}e^{\pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}t}}$

${\displaystyle \omega '={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}}$

Der Verlustfaktor ist ${\displaystyle d=2D={\frac {2\delta }{\omega _{0}}}}$, die Güte ${\displaystyle Q={\frac {1}{d}}={\frac {\omega _{0}}{2\delta }}}$

Der aperiodische Grenzfall ist gerade dann gegeben wenn die zweite e-Funktion dauerhaft 1 wird, ihr Exponent also 0. Das ist gegeben für ${\displaystyle \delta =\omega _{0}}$. Daher wird ${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\delta }}={\frac {1}{2}}}$

HTH & HAND :) --Cjesch Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Cjesch-2007-10-02T08:57:00.000Z-Gütefaktor des aperiodischen Grenzfalls11Beantworten

Vielen vielen Dank, das leuchtet mir jetzt ein ;) - also scheint die Definition im Otten schlichtweg anders oder sogar falsch zu sein. --Gnuke Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Gnuke-2007-10-02T09:12:00.000Z-Gütefaktor des aperiodischen Grenzfalls11Beantworten

Frag mich, warum die Lehrsche Dämpfung D in dem Artikel nicht auftaucht. Da delta=omega_0*Lehrsche Dämpfung ist, wäre D=1 eine schlichte Erklärung des aperiodischen Grenzfalls.-- Wruedt Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Wruedt-2011-07-15T21:36:00.000Z-Lehrsche Dämpfung11Beantworten

.. scheint ja irgendwie aperiodische Grenzfälle zu zeigen. Aber was hat es mit den "Fehlern" auf sich? Ich kann's mir nicht erklären. Kann es jemand? Da die Qualität des Bildes sehr mäßig ist, würde ich sowieso vorschlagen, es mal zu ersetzen. Einwände? Holglglgl (Diskussion) Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Holglglgl-2016-02-21T18:04:00.000Z-Das Bild ...11Beantworten

Hi, danke für das neue Bild - definitiv besser als vorher! Aber was hieltest du davon, die Achsen nicht mit den berühmten arbitrary units sondern aussagekräftigen Größen wie 1/D als charakteristische Zeitskala oder 1 als normierten Amplitude der Schwingung zu beschriften? (nicht signierter Beitrag von 188.104.58.12 (Diskussion) Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-188.104.58.12-2016-02-22T23:02:00.000Z-Holglglgl-2016-02-21T18:04:00.000Z11)Beantworten

Das wäre tatsächlich besser. Mache ich mal "sobald ich dazu komme". Holglglgl (Diskussion) Diskussion:Aperiodischer Grenzfall#c-Holglglgl-2016-02-23T21:23:00.000Z-188.104.58.12-2016-02-22T23:02:00.000Z11Beantworten