Diskussion:Absolut stetige Funktion

Für absolut stetige Funktionen gilt, dass sie fast überall differenzierbar sind. Sie besitzen also insbesondere eine schwache Ableitung.

Die Formulierung ist irreführend, absolt stetige Funktionen besitzen eine schwache Ableitung und sind fast überall differenzierbar, aber das eine folgt nicht aus dem anderen. Zumindest nicht so wies da steht(Die o.g. Cantor-Lebesgue Funktion ist auch fast überall differenzierbar, aber nicht schwach differenzierbar)

Kopiert von Benutzer Diskussion:Digamma:

Hi. Warum hast du deinen Revert rückgängig gemacht und das dann ungesichtet gelassen? Ich finde die Version ohne "abzählbar" auch sinnvoller. --Daniel5Ko Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Daniel5Ko-2010-09-09T19:47:00.000Z-Abzählbare Folge11Beantworten

Im Nachhinein sind mir Zweifel an meinem Revert gekommen, weil es hier natürlich nicht um die Folge, sondern um die Abzählbarkeit geht. Deshalb habe ich meinen Revert wieder rückgängig gemacht. Vielleicht sollte man von einer abzählbaren Menge sprechen? Das passt aber nicht zur Notation. -- Digamma Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2010-09-09T19:50:00.000Z-Daniel5Ko-2010-09-09T19:47:00.000Z11Beantworten

Hmm, ja, "abzählbare Menge" wäre wohl besser. Die Notation lässt sich auch anpassen: ${\displaystyle \sum _{[x,y]\in J}{y-x}\;<\;\delta }$, wobei J die Intervallmenge ist, etc. --Daniel5Ko Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Daniel5Ko-2010-09-09T20:19:00.000Z-Digamma-2010-09-09T19:50:00.000Z11Beantworten

Das überzeugt mich nicht so ganz. Aber vielleicht einfach endliche oder abzählbar unendliche Menge paarweise disjunkter Intervalle ${\displaystyle [x_{k},y_{k}]}$? Oder vielleicht "Familie" statt "Folge"? -- Digamma Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2010-09-09T20:25:00.000Z-Daniel5Ko-2010-09-09T20:19:00.000Z11Beantworten

Ja, "endlich" ist natürlich auch erlaubt. "Familie" unnötig. Die Summierungen und die Forderung nach paarweiser Disjunktheit ergeben bereits, dass man ohne Verluste von Mengen sprechen kann.

PS: Es ist wahrscheinlich sinnvoll, diese Diskussion auf die Artikeldiskussionsseite zu verschieben. --Daniel5Ko Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Daniel5Ko-2010-09-09T20:52:00.000Z-Digamma-2010-09-09T20:25:00.000Z11Beantworten

Man kann so oder so ohne Verluste von Mengen sprechen. Ich habe "Familie" vorgeschlagen, weil die Intervalle (in der bisherigen Fassung) indiziert sind. Deine Neufassung ist möglicherweise weniger verständlich. -- Digamma Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2010-09-10T17:36:00.000Z-Daniel5Ko-2010-09-09T20:52:00.000Z11Beantworten

Nun, bei Mengen weiß man wenigstens woran man ist und man kann sinnvoll den Begriff "abzählbar" auf sie anwenden. "Familie" finde ich meistens schwammig. Dadurch, dass wir jetzt keinen Index mehr haben, braucht sich der Leser auch nicht mehr zu fragen, ob der denn wichtig ist. Er war ja nur eine (ungenaue, sich lediglich auf Konventionen stützende) Krücke, um alle Elemente der Folge/Menge/Familie zu benennen.

Naja, schauen wir mal. Spätestens bei der ersten falschen Korrektur wissen wir, dass es unverständlich ist... :) --Daniel5Ko Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Daniel5Ko-2010-09-10T19:48:00.000Z-Digamma-2010-09-10T17:36:00.000Z11Beantworten

gudn tach!

es ist zweifelsohne schlecht verstaendlich. bitte wieder aendern. -- seth Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Lustiger seth-2010-09-10T23:56:00.000Z-Daniel5Ko-2010-09-10T19:48:00.000Z11Beantworten

M.E. spielt es keine Rolle, dass der Begriff "Familie" schwammig klingt, weil ja durch die Notation gleich klar wird, was gemeint ist. Außerdem braucht man zum Summieren einer abzählbaren Menge einen Grenzwertbegriff, das ist mit Folgen am einfachsten. -- Digamma Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2010-09-11T07:58:00.000Z-Daniel5Ko-2010-09-10T19:48:00.000Z11Beantworten

Gut, von mir aus zurück zur Folge, aber bitte nicht "abzählbare Folge". Die Folge ist ja gewissermaßen der Beweis für die nicht-Überabzählbarkeit der Menge der Folgeglieder. --Daniel5Ko Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Daniel5Ko-2010-09-11T11:55:00.000Z-Digamma-2010-09-11T07:58:00.000Z11Beantworten

Ich persönlich finde den Begriff Familie als indizierte Menge viel passender, da hier nur auf die Gesamtheit der Intervalle abgestellt wird und jegliche Arten von Konvergenz irrelevant sind. Auf Grund der vorrangegangenen Diskussion habe ich aber auch bei der Bearbeitung des Artikels den Begriff der Folge beibehalten. (Gleiches gilt für die Beschreibung "klein genug/derart klein" für ${\displaystyle \delta }$.) Der Hinweis auf die Abzählbarkeit wäre dagegen falsch! Die Definition der absoluten Stetigkeit spricht nur über endliche Intervallfolgen. Die Übertragung auf abzählbare Systeme benötigt einen zusätzlichen logischen Schritt. Das ist dasselbe wie die Feststellung, dass unendliche Summen per se nicht definiert sind und der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ nur eine vereinbarte Schreibweise für den (hoffentlich eindeutigen) Grenzwert ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$ ist. Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:B142:71A3:4683:500B Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-2A02:8109:9400:474:B142:71A3:4683:500B-2017-02-26T14:30:00.000Z-Daniel5Ko-2010-09-11T11:55:00.000Z11Beantworten

In der Definition steht: ..., welche klein genug ist, ... Was könnte das bedeuten??? 82.75.140.46 Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-82.75.140.46-2012-01-24T14:01:00.000Z-Klein genug?11Beantworten

Mathematisch bedeutet es gar nichts. Man kann den Relativsatz einfach streichen. Es trägt aber zum Verständnis bei: Je kleiner ${\displaystyle \delta }$ ist, desto eher ist die folgende Bedingung erfüllt. Das heißt, wenn ${\displaystyle \delta }$ klein genug ist, dann ist die Bedingung erfüllt. --Digamma Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2012-01-24T18:07:00.000Z-82.75.140.46-2012-01-24T14:01:00.000Z11Beantworten

Im Artikel wurde bisher behauptet, Vitali habe den Begriff der absoluten Stetigkeit 1905 eingeführt, dies wurde allerdings mit einer Primärquelle von 1984 belegt. Daher habe ich die Jahreszahl raus genommen. Könnte jemand mit umfassenderer Literaturkenntnis bitte eine Quelle für die korrekte Jahresangabe einfügen?

Vielen Dank und liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:B142:71A3:4683:500B Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-2A02:8109:9400:474:B142:71A3:4683:500B-2017-02-26T14:11:00.000Z-Originalarbeit von Vitali11Beantworten

Ich sehe das Problem nicht. Die Aussage wurde mit einer Sekundärquelle belegt. Genau so soll es sein. --Digamma (Diskussion) Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2017-02-28T10:18:00.000Z-2A02:8109:9400:474:B142:71A3:4683:500B-2017-02-26T14:11:00.000Z11Beantworten

Dann lag ein Irrtum meinerseits vor. Jahreszahl ist wieder drin. Besten Dank und liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:D5EE:870E:AA6A:E56 Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-2A02:8109:9400:474:D5EE:870E:AA6A:E56-2017-03-01T08:52:00.000Z-Digamma-2017-02-28T10:18:00.000Z11Beantworten

Mit "Sekundärquelle" meinte ich das Buch von Elstrodt, das als Einzelnachweis angegeben war. Ich füge diesen wieder ein. --Digamma (Diskussion) Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2017-03-01T09:04:00.000Z-2A02:8109:9400:474:D5EE:870E:AA6A:E56-2017-03-01T08:52:00.000Z11Beantworten

Die Elstrodt-Angabe hat sich doch aber nur auf die "Charakterisierung von Lebesgue-Integralen" bezogen (die damit zweifelsohne belegt wurde). -- 2A02:8109:9400:474:CDCB:F87F:1F0:E774 Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-2A02:8109:9400:474:CDCB:F87F:1F0:E774-2017-03-01T21:07:00.000Z-Digamma-2017-03-01T09:04:00.000Z11Beantworten

Nein, das Buch von Elstrodt enthält auf der angegebenen Seite einen Abschnitt

"Historische Anmerkungen: G. Vitali ([1], S. 207) nennt 1905 eine Funktion ${\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ absolut stetig, wenn es ..."

--Digamma (Diskussion) Diskussion:Absolut stetige Funktion#c-Digamma-2017-03-01T21:24:00.000Z-2A02:8109:9400:474:CDCB:F87F:1F0:E774-2017-03-01T21:07:00.000Z11Beantworten