Bazley spielte als Jugendlicher Basketball an der Finneytown High School im US-Bundesstaat Ohio sowie anschließend an der im selben Bundesstaat gelegenen Princeton High School.[1] Er gehörte zu den hoffnungsvollsten Nachwuchsspielern seines Jahrgangs in den USA und nahm im März 2018 am McDonald's All-American Game teil.[2] Seine Zusage, an die Ohio State University zu wechseln, zog Bazley im April 2017 zurück[3] und ließ im Juli 2017 verlauten, sich an der Syracuse University einzuschreiben.[4] Auch diese Entscheidung machte er rückgängig und plante stattdessen, in die NBA G-League und somit ins Profigeschäft zu wechseln.[5] Dieses Vorhaben setzte Bazley aber nicht in die Tat um, sondern trainierte in Eigenregie, um sich gezielt auf das Draftverfahren der NBA im Juni 2019 vorzubereiten.[6] Die Utah Jazz sicherten sich in der ersten Auswahlrunde an 23. Stelle die Rechte an dem Flügelspieler,[7] gaben diese aber über die Memphis Grizzlies, an die Oklahoma City Thunder ab.[8]
Er spielte bis Februar 2023 in Oklahoma City, kam dann im Rahmen eines Tauschhandels zu den Phoenix Suns.[9] Im Sommer 2023 unterzeichnete Bazley einen Vertrag bei den Brooklyn Nets.[10] Im Oktober 2023 wurde er noch vor dem Auftakt des Spieljahres 2023/24 wieder entlassen.[11] Im Februar 2024 erhielt er einen Vertrag bei den Philadelphia 76ers in der NBA, nachdem er zuvor bei den Delaware Blue Coats in der NBA G-League überzeugende Leistungen gebracht hatte.[12] Mitte März 2024 wurde Bazley von den Utah Jazz verpflichtet.[13] Ende Juli 2024 kam es zur Trennung.[14]