Cesàro-Kurve
Bei der Cesàro-Kurve handelt es sich um ein strikt selbstähnliches Fraktal, das um 1905 von Ernesto Cesàro beschrieben wurde. Sie stellt eine Verallgemeinerung der bekannten Koch-Kurve dar. Der Initiator ist wie dort ebenfalls die Einheitsstrecke, jedoch wird der Basiswinkel des von der Kurve umschlossenen gleichschenkligen Dreiecks, der bei der Koch-Kurve θ = 60° beträgt, variabel im Bereich von θ = 0° bis θ = 90°. Somit ergibt sich die Cesàro-Kurve als eine Kurvenschar mit dem Parameter θ.
Verschiedene Cesàro-Kurven
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Cesaro.png/750px-Cesaro.png)
In Abhängigkeit vom Parameter θ ergeben sich sehr unterschiedliche Kurven. Für θ = 0° erhält man die Einheitsstrecke, da es zu keiner Längenzunahme kommt. Mit zunehmendem θ wirkt die Kurve rauer und zerklüfteter, da ihre fraktale Dimension von 1 bei θ = 0° bis auf 2 bei 90° steigt, wo die Kurve schließlich ein gleichschenkliges Dreieck mit der Fläche 1/4 ausfüllt. In diesem Fall handelt es sich daher um eine fraktale Füllkurve.
Die fraktale Dimension lässt sich anhand der folgenden Formel bestimmen:
Die Fläche unterhalb der Cesàro-Kurve
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Fläche „unterhalb“ der Kurve (also zwischen Kurve und Initiator) ergibt sich als Funktion einer Reihe über den Parameter :[1]
Dabei steigt die Fläche von bei bis auf bei an.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS), A. Jablonski, (Online)
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser, ISBN 3-7643-2646-8