Casimirs Trick

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Casimirs Trick, nach dem niederländischen Physiker Hendrik Casimir benannt, ist ein Verfahren zur einfachen Berechnung von Spin-gemittelten quadrierten Matrixelementen in Quantenfeldtheorien.

Ein in den Quantenfeldtheorien häufig vorkommender Ausdruck ist das Matrixelement der S-Matrix , welche den Übergang von einem anfänglichen Zustand in einen Endzustand beschreibt. Dieses Matrixelement kann mithilfe von Feynman-Diagrammen graphisch dargestellt und in einen rigorosen mathematischen Ausdruck übersetzt werden. Sind Fermionen, also Teilchen mit einem Spin von beteiligt, so treten in den Berechnungen der Matrixelemente Dirac-Spinoren, also vierkomponentige Vektoren mit zusätzlichen Spin-Indizes auf.

Eine lorentzinvariante, skalare Größe ist das quadrierte Matrixelement , welches im Allgemeinen komplexe Ausdrücke aus Produkten von Dirac-Spinoren enthält. Ist man in der Rechnung jedoch nur an einem über alle möglichen Spin-Einstellungen gemittelten Matrixelement interessiert, lässt sich das Matrixelement mithilfe von Casimirs Trick in ein Produkt aus Spuren über Dirac-Matrizen überführen, die auf Basis der Dirac-Algebra einfach ausgeführt werden können.

Bezeichnen die Spinoren für einlaufende [Anti-]Teilchen in Feynman-Diagrammen und Spinoren für auslaufende [Anti-]Teilchen, so gilt:

Dabei bezeichnet eine beliebige -Matrix, die Dirac-Matrizen und ein Überstrich die Dirac-Adjungierte . bezeichne die Massen der jeweiligen Teilchen/Antiteilchen, wobei der Index der gleiche wie bei der Zuordnung der Spins ist.

Mathematischer Hintergrund

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Die Dirac-Spinoren lassen sich in zwei unabhängige Spinoren für Teilchen und für Antiteilchen zerlegen. Diese erfüllen jeweils eine Vollständigkeitsrelation

.

Im Matrixelement kommen typische Ausdrücke wie zum Beispiel vor. Das quadrierte Matrixelement lautet also:

Wenn über die Spin-Indizes summiert wird, so kann zuerst im mittleren Paar der Dirac-Spinoren die Vollständigkeitsrelation angewandt werden. Es ist im Folgenden zweckmäßig, die Spin-, Spinor- und Raumzeit-Indizes aus Gründen der Nachvollziehbarkeit nicht zu unterdrücken, wobei über die Spins, über die vier Komponenten der Spinoren und über die vier Dirac-Matrizen (Raumzeit-Indizes) summieren:

.

In Komponentenschreibweise ist offensichtlicher, dass die Summation über einfach vollzogen werden kann, da alle Objekte nun kommutieren; es gilt somit

Für die anderen drei Fälle läuft der Beweis analog.

Beispiel: Elektron-Myon-Streuung

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Bezeichnen den Impuls des ein[aus]laufenden Elektrons und den des ein[aus]laufenden Myons, so lautet das Matrixelement der Elektron-Myon-Streuung in niedrigster Ordnung in der Quantenelektrodynamik:

Wird über die Spins der einlaufenden Teilchen gemittelt und über die Spins der auslaufenden Teilchen summiert, so ergibt sich nach zweimaliger Anwendung von Casimirs Trick

  • David Griffiths: Einführung in die Elementarteilchenphysik. Übersetzt von Thomas Stange. Akademie-Verlag, Berlin 1996, ISBN 3-05-501627-0.
  • Abraham Pais: Inward Bound. Oxford, New York 1986, ISBN 978-0198519713.