Einige sinnvolle Verallgemeinerungen für die Mittag-Leffler-Funktion könnten folgendermaßen aussehen:
E
α
,
β
,
γ
=
∑
n
=
0
∞
(
γ
x
)
n
Γ
(
α
x
+
β
)
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x)^{n}}{\Gamma (\alpha x+\beta )}}}
E
α
,
β
,
γ
,
δ
=
∑
n
=
0
∞
(
γ
x
+
δ
−
1
)
n
Γ
(
α
x
+
β
)
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x+\delta -1)^{n}}{\Gamma (\alpha x+\beta )}}}
E
α
,
β
,
γ
,
δ
;
s
=
∑
n
=
0
∞
(
γ
x
+
δ
−
1
)
n
Γ
(
α
x
+
β
)
(
n
+
1
)
s
−
1
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x+\delta -1)^{n}}{\Gamma (\alpha x+\beta )(n+1)^{s-1}}}}
E
α
,
β
,
γ
,
δ
;
k
,
s
=
∑
n
=
0
∞
(
γ
x
+
δ
−
1
)
n
d
k
d
x
k
(
log
Γ
(
α
x
+
β
)
)
α
Γ
′
(
α
x
+
β
)
(
n
+
1
)
s
−
1
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;k,s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x+\delta -1)^{n}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\log \Gamma (\alpha x+\beta ))}{\alpha \Gamma '(\alpha x+\beta )(n+1)^{s-1}}}}
E
α
,
β
,
γ
,
δ
;
k
,
l
,
s
=
∑
n
=
0
∞
(
n
+
1
)
(
γ
x
+
δ
−
1
)
n
d
k
d
x
k
(
log
Γ
(
α
x
+
β
)
)
α
Γ
′
(
α
x
+
β
)
(
l
n
+
1
)
s
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;k,l,s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+1)(\gamma x+\delta -1)^{n}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\log \Gamma (\alpha x+\beta ))}{\alpha \Gamma '(\alpha x+\beta )(ln+1)^{s}}}}
E
α
,
β
,
γ
,
δ
;
k
,
l
,
m
,
s
=
∑
n
=
0
∞
(
n
+
1
)
(
γ
x
+
δ
−
1
)
n
d
k
d
x
k
(
log
Γ
(
α
x
+
β
)
)
α
Γ
′
(
α
x
+
β
)
(
l
n
+
m
)
s
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;k,l,m,s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+1)(\gamma x+\delta -1)^{n}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\log \Gamma (\alpha x+\beta ))}{\alpha \Gamma '(\alpha x+\beta )(ln+m)^{s}}}}
Dabei ist schrittweise von der Grunddefinition ausgegangen worden und die Definitionen sind so gewählt, dass die Eigenschaften jeder vorherigen Funktion erhalten bleiben, wenn man den dazugekommenen Parameter gleich 1 setzt. Es ist jedoch auf Polstellen zu achten. Selbstverständlich ist immer noch
E
1
,
1
,
1
,
1
;
1
,
1
,
1
,
1
=
e
x
{\displaystyle \mathrm {E} _{1,1,1,1;1,1,1,1}=e^{x}}
.
Die ab der vorletzten Funktion auftretende logarithmische Ableitung der Gammafunktion ist die Polygammafunktion .