Der Binnendruck, der von den Kohäsionskräften der Teilchen eines Gases abhängt,[1][2] ist ein Maß für die Änderung der inneren Energie eines Gases, wenn es sich bei konstanter Temperatur ausdehnt oder zusammenzieht. Es hat dieselbe Einheit wie der Druck, die SI-Einheit ist also Pascal.
Das Symbol des Binnendrucks ist üblicherweise
. Es ist definiert als partielle Ableitung der inneren Energie nach dem Volumen bei konstanter Temperatur:
![{\displaystyle \pi _{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbaa7d20e3692d9e59cf6d10250aa0f8c2bd876e)
Diese Gleichung kann umgeschrieben werden in:
Herleitung:
Die Innere Energie ist eine Zustandsgröße, sie kann (bei fester Stoffmenge) als Funktion der Entropie S und des Volumens V geschrieben werden, das vollständige Differential ist also:
.
Differenziert man dies partiell nach V (bei konstanter Temperatur), ergibt sich:
Vergleicht man dies mit der Fundamentalgleichung der Thermodynamik (bei fester Stoffmenge): , so ergibt sich und .
also:
Mit der Maxwell-Beziehung folgt also:
|
Der Joule-Koeffizient
(nicht zu verwechseln mit dem viel häufiger vorkommenden Joule-Thomson-Koeffizienten
) ist definiert durch:[3][4][5]
, also die partielle Ableitung der Temperatur nach dem Volumen (bei gleichbleibender innerer Energie).
Nach Maxwell-Beziehung#Allgemeine Maxwell-Relation gilt:
Daraus folgt:
Wenn der Binnendruck
ist, dann ist der Joule-Koeffizient
und somit kühlt sich das Gas bei freier Expansion ab.
Im folgenden ist
die allgemeine Gaskonstante,
die Stoffmenge und
das molare Volumen.
Beim Modell des idealen Gases gilt:
Also ist
und somit:
Beim idealen Gas ist der Binnendruck also immer 0, die Gasteilchen üben aufeinander keine Kräfte aus.
Beim Modell des Van-der-Waals Gases gilt:
mit den (positiven) Van-der-Waals Konstanten a und b.
Also ist
und somit:
[6]
Beim Van-der-Waals Gas (mit a>0) ist der Binnendruck also immer positiv und unabhängig von der Temperatur, strebt aber für
gegen 0.
Beim Modell nach Redlich-Kwong gilt:
Also ist
[7]
Nach diesem Modell lässt wird die Kohäsion zwischen den Teilchen bei höherer Temperatur (und damit höherer Geschwindigkeit der Teilchen) kleiner.
Beim Modell nach Wohl gilt:
mit
,
wobei
der Druck,
die Temperatur und
das molare Volumen am kritischen Punkt sind.[8]
Da dann
ist, gilt somit:
Also
Solange die Temperatur kleiner ist als
ist der Binnendruck <0 und darüber ist der Binnendruck >0.
Z.B. gilt für Wasser nach der Tabelle in Critical constants and second virial coefficients of gases:
und
Wenn z.B.
, dann ist die Umschlagtemperatur bei
. (Dort wäre der Gasdruck ca. 961 bar, allerdings ist das Wasser dort bereits flüssig.)
also gilt:
- ↑ Grundlagen der Physikalischen Chemie (W. Moore, D. Hummel, Verlag: Walter de Gruyter, 1986)
- ↑ Das reale Gas (www.uni-marburg.de, abgerufen am 3. November 2016)
- ↑ Physikalische Chemie (W. Moore, D. Hummel, Verlag: Walter de Gruyter, 1986), Seite 77
- ↑ CHAPTER 10 THE JOULE AND JOULE-THOMSON EXPERIMENTS (orca.phys.uvic.ca, abgerufen am 5. November 2016)
- ↑ Physical Chemistry (R. G. Mortimer, Academic Press, 2008)
- ↑ siehe auch Formelsammlung (Tabelle 12, staff.mbi-berlin.de, abgerufen am 3. November 2016)
- ↑ siehe Seite 77, A3.23 in Physikalische Chemie (T. Engel, P. J. Reid, Verlag Pearson Deutschland GmbH, 2006)
- ↑ Quantum Mechanics_Real gases (abgerufen am 3. November 2016)
Kategorie: Thermodynamik