Benutzer:Tensorproduct/Geister und Schatten

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Tensorproduct auf.

Geister und Schatten bezeichnet eine Technik aus der Stochastik, genauer der Theorie der Zufallsmatrizen, zur Verallgemeinerung der Divisionsalgebra von Zufallsvariablen. Die Technik wurde von Alan Edelman eingeführt.^[1]

Zufallsmatrizen ${\displaystyle M=(X_{ij})_{i,j}}$ werden nach Dysons threefolded way in die drei Dimensionen über den reellen Zahlen aufgeteilt und mit dem Dyson-Index ${\displaystyle \beta }$ notiert:

${\displaystyle \beta =1}$ bezeichnet reelle Einträge ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle \beta =2}$ bezeichnet komplexe Einträge ${\displaystyle X+\mathrm {i} Y}$.

${\displaystyle \beta =4}$ bezeichnet Quaternion-Einträge sind ${\displaystyle X_{0}+\mathrm {i} X_{1}+\mathrm {j} X_{2}+\mathrm {k} X_{3}}$.

Der Ansatz ist nun auch Zufallsvariablen für reelle Divisionsalgebren mit allgemeiner Dimension ${\displaystyle \beta }$ zu definieren, zum Beispiel Dimension ${\displaystyle 2,346}$ oder ${\displaystyle \pi }$, in gleicher Weise wie man früher zuerst die negativen und dann die imaginären Zahlen eingeführt hat. Dazu definiert man eine zugehörige reelle oder komplexe Quantität um Realisierungen auszuführen. Dies führt zum Begriff von Geister- und Schatten-Zufallsvariablen und eine kommutativen Algebra für Zufallsvariablen für allgemeine ${\displaystyle \beta }$ (Quaternionen-Zufallsvariablen sind kommutativ im Gegensatz zu deterministischen Quaternionen).

Eine isotropische Geister-Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ wird durch eine Funktion ${\displaystyle f_{X}(r)}$ mit ${\displaystyle r>0}$ beschrieben, wenn

${\displaystyle \int _{r=0}^{\infty }f_{X}(r)r^{\beta -1}S_{\beta -1}\mathrm {d} r=1}$

1. ↑ Alan Edelman: The Random Matrix Technique of Ghosts and Shadows. In: Markov Processes and Related Fields. Nr. 4, 2010.