Benutzer:Suhagja/Lefschetz-Hyperebenensatz

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Satz: Es sei ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} P^{n}}$ eine komplex ${\displaystyle k}$-dimensionale algebraische Varietät und ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} P^{n}}$ eine Hyperebene, die alle Singularitäten von ${\displaystyle V}$ enthält. Dann ist

${\displaystyle \pi _{r}(V,V\cap P)=0\ \forall r<k}$.

Insbesondere induziert die Inklusion ${\displaystyle V\cap P\to V}$ einen Isomorphismus der Homologiegruppen bis Grad ${\displaystyle k-1}$ und einen Epimorphismus in Grad ${\displaystyle k}$.

Der Satz ist eine Folgerung aus dem stärkeren Satz:Eine bianalytisch als abgeschlossene Menge eingebettete komplex-analytische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$ der komplexen Dimension ${\displaystyle k}$ ist homotopie-äquivalent zu einem ${\displaystyle k}$-dimensionalen CW-Komplex, insbesondere ist ${\displaystyle H_{i}(M;\mathbb {Z} )=0}$ für ${\displaystyle i>k}$.

• Lefschetz, S. L'analysis situs et la géométrie algébrique. (French) Gauthier-Villars, Paris, 1950.
• Andreotti, Aldo; Frankel, Theodore The Lefschetz theorem on hyperplane sections. Ann. of Math. (2) 69 1959 713–717.
• Milnor, J. Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963