Benutzer:Suhagja/Hyperbolisches Volumen

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In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist das hyperbolische Volumen das Volumen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit. Es ist eine topologische Invariante, weil es nach dem Starrheitssatz von Mostow-Prasad auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle \geq 3}$ höchstens eine hyperbolische Metrik endlichen Volumens geben kann.

Auf einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ ist die hyperbolische Metrik nicht eindeutig, sondern es gibt einen ${\displaystyle (6g-6)}$-dimensionalen Modulraum hyperbolischer Metriken, den sogenannten Teichmüller-Raum. Es folgt aber aus dem Satz von Gauß-Bonnet, dass alle diese Metriken das selbe Volumen

${\displaystyle Area(S_{g})=4\pi (g-1)}$

haben.

Die hyperbolischen Volumina von 3-Mannigfaltigkeiten bilden eine wohlgeordnete Teilmenge der reellen Zahlen, d.h. jede Familie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten hat ein Element kleinsten Volumens.

Aus dem Satz von Gauß-Bonnet-Chern folgt, dass das hyperbolische Volumen gerade-dimensionaler Mannigfaltigkeiten proportional zur Euler-Charakteristik mit einem nur von der Dimension abhängenden Proportionalitätsfaktor ist.

Auch für ungerade Dimensionen (mit Ausnahme der Dimension 3) bilden die hyperbolischen Volumina eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlen.