Benutzer:Suhagja/Hausdorff-Konvergenz

Hausdorff-Konvergenz ist ein Begriff aus der Mathematik, mit dem beschrieben wird, dass Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (oder eines allgemeinen metrischen Raumes) sich einer Grenzmenge annähern. Er wird in der fraktalen Geometrie zur Konstruktion von Fraktalen und in der Differentialgeometrie zum Führen von Widerspruchsbeweisen verwendet.

Allgemeiner ist der Begriff der Gromov-Hausdorff-Konvergenz, welcher Konvergenz von beliebigen Folgen metrischer Räume (nicht notwendig Teilmengen eines gegebenen Raumes) beschreibt.

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle A_{n}\subset X}$ eine Folge von kompakten Teilmengen. Die Folge ${\displaystyle A_{n}}$ konvergiert gegen die kompakte Menge ${\displaystyle A}$, wenn

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\delta (A_{n},A)=0}$

gilt. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \delta }$ den Hausdorff-Abstand.

Ausgeschrieben bedeutet diese Definition: ${\displaystyle A_{n}}$ konvergiert gegen ${\displaystyle A}$ wenn es für alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle n>N}$ gilt: ${\displaystyle A}$ liegt in der ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle A_{n}}$ und ${\displaystyle A_{n}}$ liegt in der ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle A}$.

• "How Riemannian Manifolds Converge: a Survey" by Christina Sormani, Metric and Differential Geometry: The Jeff Cheeger Anniversary Volume, edited by X. Rong and X. Dai, Progress in Mathematics Vol 297, 27pp. pdf