Benutzer:Stefan-Xp/Mathematik Semester 4
Wahrscheinlichkeit
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Grundlagen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wir betrachten Ereignisse, deren Eintreffen vom Zufall abhängt und deren Wahrscheinlichkeit durch Zahlen ausgedrückt werden können. Wahrscheinlichkeiten können statistisch erfaßt werden, in dem man die Bedingungen, unter denen ein bestimmtes Ereignis eintreffen kann, immer wieder realisiert und feststellt, mit welcher Häufigkeit das Ereignis eintrifft. Ist die Wahrscheinlichkeit p, so heißt das, daß in einer Reihe von n Wiederholungen das Ereignis durchschnittlich pn - mal eintrifft. Wenn A und B sich ausschließen, so gilt P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ).
Zwei Ereignisse A, B heißen unabhängig, wenn P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) gilt, d.h. P ( B | A ) = P ( B ). Das Eintreten von B ist dann vom Eintreten von A unabhängig.
Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben sei ein Ereignis A mit P ( A ) ≠ 0 . Die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B unter der Voraussetzung, daß A schon eingetroffen ist, wird durch definiert. Daraus folgt, daß P(A∩B) = P(A) P(B|A) gilt. Wenn die Elementarereignisse eines Zufallsexperiments alle gleich Wahrscheinlich sind, und es k Elementarereignisse gibt, so gilt für jedes Wenn ein Ereignis A durch l Elementarereignisse realisiert werden kann, dann gilt:
Zählregeln / Kombinatorik
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ziehen mit Zurücklegen | Ziehen ohne Zurücklegen | |
---|---|---|
mit Beachtung der Reihenfolge | ||
ohne Beachtung der Reihenfolge |
Zufallsvariablen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es gibt zwei Markante Fälle:
- X kann nur enflich viele Werte annehmen
- X kann beliebig viele Werte annehmen und ist stetig
Wenn F(t) (Funktion der Zufallsvariable) stetig differenzierbar ist, dann heisst F'(t) = f(t) (Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen X)
Erwartungswert
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Mittelwert oder Erwartungswert E[x] einer zufälligen Größe x, die nur endlich viele Werte t1, t2, ..., tn mit den Wahrscheinlichkeiten P1, P2, ..., Pn annehmen kann, ist definiert durch
Es gelten folgende Rechenregeln:
- E ( x + y ) = E x + E y
- E (c x ) = c E x
Sind die beiden Größen x, y unabhängig voneinander, so gilt
- E ( x y ) = ( E x ) ⋅ ( E y )
Varianz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- in anderer Schreibweise:
Die Streuung der ZV () hat die gleiche Einheit wie t. Wenn X eine stetige Zahl mit W.-Dichte f(t) ist, dann gilt:
Aber Vorsicht:
- wobei
Die Kovarianz cov(x,y) ist ein Maß für die Abhängigkeit von x zu y. Falls dann sind x und y unabhängig.
Zufallsprozesse
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ereignisbaum ...
- Ziegenproblem ...
- Multiplikationsraum
- Formel von Bayes
Gauß-Verteilung / Normalverteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gausche Glockenkurve mit Maximum () im Ursprung und in den Wendepunkten.
- 1. Veränderung: Vertikale Verschiebung
- 2. Veränderung: Horizontale Dehnung
Tschebyscheffsche Ungleichung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Tschebyscheff'sche Ungleichung
Spezielle Verteilungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Binomialverteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Hypergeometrische Verteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Poisson Verteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Exponentialverteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Abgeleitete Verteilungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Xi Quadrat Verteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die t-Verteilung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten](Student-Verteilung) (Gosset)