Im Dreidimensionalen haben zwei weder parallele noch gar zusammenfallende Ebenen (die Normalenvektoren beider Ebenen sind dann linear unabhängig) genau eine Gerade als gemeinsame Punktmenge, ihre Schnittgerade. Entsprechend (und das ist leicht auch anschaulich vorstellbar) haben drei Ebenen (beschrieben durch ihre skalaren Ebenen-Gleichungen)

${\displaystyle \varepsilon _{i}:\,\,\,{\mathfrak {r}}\cdot {\mathfrak {n}}_{i}=d_{i},\,\,i=1,2,3\,\,\,\,\,}$........(1a)

mit insgesamt drei linear unabängigen Normalenvektoren einen gemeinsamen Punkt, ihren Schnittpunkt

${\displaystyle \mathrm {S} =\bigcap _{i}\varepsilon _{i}:\,\,\,\,{\mathfrak {r}}={\mathfrak {r}}_{\mathrm {S} }={\mathfrak {s}}\,}$ ........(1b).

D.h. ${\displaystyle {\mathfrak {r}}_{\mathrm {S} }={\mathfrak {s}}}$ muß alle drei Ebenengleichungen (1a) erfüllen. Mit ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}=({\mathfrak {n}}_{1}{\mathfrak {n}}_{2}{\mathfrak {n}}_{3})^{\textsf {T}}}$ und ${\displaystyle {\underline {d}}=(d_{1}d_{2}d_{3})^{\textsf {T}}}$ kann dafür

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}\cdot {\mathfrak {s}}={\underline {d}}\,}$ ........(2)

geschrieben werden, und das ist ein System dreier skalarer Gleichungen für die Koordinaten von ${\displaystyle {\mathfrak {r}}_{\mathrm {S} }={\mathfrak {s}}}$ bezüglich der Vektor-Basis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}=({\mathfrak {n}}_{1}{\mathfrak {n}}_{2}{\mathfrak {n}}_{3})^{\textsf {T}}}$.

Mit dem dieser Basis zugehörigen Koordinatenvektor ${\displaystyle {\underline {s}}_{\underline {\mathfrak {n}}}={(s_{1}s_{2}s_{3})_{\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}}}$ ist

${\displaystyle {\mathfrak {s}}={{\underline {s}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}}{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}{\underline {s}}_{\underline {\mathfrak {n}}}}$........(3)

ein Ansatz für den Ortsvektor des Ebenen-Schnittpunkts. Traditionell wurde nun die Vektorgleichung (3) der Reihe nach mit den drei Normalenvektoren ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{i}}$ skalar multipliziert. Damit ergibt sich wieder das Gleichungssystem (2), hier jedoch unter Verwendung des Ansatzes (3) ausgeschrieben, zu

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}\cdot {\mathfrak {s}}={\underline {\mathfrak {n}}}\cdot {\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}{\underline {s}}_{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {d}}\,}$ ........(2a)

mit der Gramschen Matrix ${\displaystyle {\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {\mathfrak {n}}}\cdot {\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}}$ als Koeffizienten-Matrix. Mit deren Inverser ${\displaystyle {\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}\equiv ({\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}})^{-1}}$ folgt die Lösung des Gleichungssystems (2a) zu

${\displaystyle {\underline {s}}_{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}\,\,{\underline {d}}\,\qquad }$ ........(2b),

nach Einsetzen in die Ansatzgleichung (3) weiter

${\displaystyle {\mathfrak {s}}={\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}{{\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}}{\underline {d}}={\underline {d}}^{\textsf {T}}{{\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}}{\underline {\mathfrak {n}}}}$ ........(3a)

und mit der zu ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}}$ reziproken Vektorbasis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*}=({\mathfrak {n}}_{1}^{*}{\mathfrak {n}}_{2}^{*}{\mathfrak {n}}_{3}^{*})^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*}={\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}\,{\underline {\mathfrak {n}}}}$ ........(2c)

schließlich

${\displaystyle {\mathfrak {s}}={\underline {d}}^{\textsf {T}}{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}}$ ........(3b).

als Endformel für die allgemeine (d. h. von einem vorgegebenen Koordinatensystem unabhängige) Lösung.

1. Der systematische Lösungsweg über die Gleichungen (2a), (3) ff. kann abgekürzt werden, wenn die Ausgangsgleichung (2) tensoriell mit der transponierten reziproken Basis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*{\textsf {T}}}}$ multipliziert wird:

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*{\textsf {T}}}\,{\underline {\mathfrak {n}}}\cdot {\mathfrak {s}}={\mathfrak {s}}={\underline {\mathfrak {n}}}^{*{\textsf {T}}}\,{\underline {d}}}$...............................(3b'),

denn ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*{\textsf {T}}}\,{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {\mathfrak {n}}}{^{\textsf {T}}}\,{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}=\mathbf {E} }$ ist nichts anderes als der Einheitstensor zweiter Stufe in seiner speziellen Gestalt bezüglich der Vektorbasis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}}$, der den mittels Skalarmultiplikation verknüpften vektoriellen Faktor unverändert läßt. Auf der rechten Seite geht die dyadische Multiplikation in die einfache Zahl-Vektor-Multiplikation über, und das Ergebnis stimmt mit Gl. (3b) überein. Man könnte also auch sagen, daß mit der Operation gem. (3b') die Gleichung (2) direkt nach ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ aufgelöst worden ist.

2. Für den dreidimensionalen Raum ist es nicht mal nötig, die Inverse der Gramschen Matrix zu ermitteln, weil kraft des Vektorprodukts die reziproken Basisvektoren auch direkt angegeben werden können. Mit dem Spatprodukt der Basisvektoren ${\displaystyle V_{\underline {\mathfrak {n}}}={\mathfrak {n}}_{1}\cdot ({\mathfrak {n}}_{2}\times {\mathfrak {n}}_{3})}$ ist gleichwertig mit (2c)

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*}={\frac {1}{V_{\underline {\mathfrak {n}}}}}({\mathfrak {n}}_{2}\times {\mathfrak {n}}_{3}\,\,\,\,{\mathfrak {n}}_{3}\times {\mathfrak {n}}_{1}\,\,\,\,{\mathfrak {n}}_{1}\times {\mathfrak {n}}_{2})^{\textsf {T}}}$ ........ (4)

und damit nach (3b)

${\displaystyle {\mathfrak {s}}={\frac {1}{V_{\underline {\mathfrak {n}}}}}(d_{1}\,{\mathfrak {n}}_{2}\times {\mathfrak {n}}_{3}\,+\,d_{2}\,{\mathfrak {n}}_{3}\times {\mathfrak {n}}_{1}\,+\,d_{3}\,{\mathfrak {n}}_{1}\times {\mathfrak {n}}_{2})}$ ........ (4b)

Diese Form des Ergebnisses findet sich in vielen Darstellungen bzw. Formelsammlungen.

Für jede konkrete Berechnung (und zahlenmäßige Auswertung) sind natürlich die Koordinatenvektoren aller als Eingangswerte erforderlichen vektoriellen Größen bezüglich der kartesischen Referenz-Basis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {e}}}=({\mathfrak {e}}_{1}\,{\mathfrak {e}}_{2}\,{\mathfrak {e}}_{3})^{\textsf {T}}}$ heranzuziehen. Zur Vereinfachung betrachten wir aber nicht diese einzelnen Vektoren

${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{i}={\underline {n}}_{i}^{\textsf {T}}{\underline {\mathfrak {e}}}={\underline {\mathfrak {e}}}^{\textsf {T}}{\underline {n}}_{i}}$ ........................ (5')

mit ihren Koordinatenvektoren

${\displaystyle {\underline {n}}_{i}={\underline {\mathfrak {e}}}\cdot {\mathfrak {n}}_{i}\,\,\,{\mathsf {bzw.}}\,\,\,{\underline {n}}_{i}^{\mathsf {T}}={\mathfrak {n}}_{i}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathsf {T}}}$ ................ (5´´)

sondern wir betrachten die spezielle ("problemeigene") Basis (aus den drei linear unabhängigen Ebenen-Normalenvektoren) und deren Darstellung bezüglich der vorausgesetzten Referenz-Basis, d. h.

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}={\begin{pmatrix}{\mathfrak {n}}_{1}\\{\mathfrak {n}}_{2}\\{\mathfrak {n}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}&n_{13}\\n_{21}&n_{22}&n_{23}\\n_{31}&n_{32}&n_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathfrak {e}}_{1}\\{\mathfrak {e}}_{2}\\{\mathfrak {e}}_{3}\end{pmatrix}}\,\,\,{\mathsf {oder}}\,\,\,{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {N}}\,\,{\underline {\mathfrak {e}}}\,\,\,{\mathsf {bzw.}}\,\,\,{\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}={\underline {\mathfrak {e}}}^{\textsf {T}}\,{\underline {N}}^{\textsf {T}}}$ .................... (5), (5a), (5b)

mit der Koordinatenmatrix ${\displaystyle {\underline {N}}_{\,{\underline {\mathfrak {e}}}}}$ der Vektorbasis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}}$ bezüglich der Referenz-Basis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {e}}}}$

${\displaystyle {\underline {N}}={\begin{pmatrix}n_{11}&n_{12}&n_{13}\\n_{21}&n_{22}&n_{23}\\n_{31}&n_{32}&n_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\underline {n}}_{1}^{\mathsf {T}}\\{\underline {n}}_{2}^{\mathsf {T}}\\{\underline {n}}_{3}^{\mathsf {T}}\end{pmatrix}}}$   bzw.   ${\displaystyle {\underline {N}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}n_{11}&n_{21}&n_{31}\\n_{12}&n_{22}&n_{32}\\n_{13}&n_{23}&n_{33}\end{pmatrix}}=({\underline {n}}_{1}\,\,{\underline {n}}_{2}\,\,{\underline {n}}_{3})}$. ........ (6a),(6b)

Nach Gln. (5a) und (5b) folgt nun für die Gramsche Matrix der Vektorbasis ${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}=({\mathfrak {n}}_{1}\,{\mathfrak {n}}_{2}\,{\mathfrak {n}}_{3})^{\mathsf {T}}}$   bzw. für deren Inverse

${\displaystyle {\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {\mathfrak {n}}}\cdot {\underline {\mathfrak {n}}}^{\mathsf {T}}={\underline {N}}\,{\underline {\mathfrak {e}}}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathsf {T}}\,{\underline {N}}^{\mathsf {T}}={\underline {N}}\,{\underline {N}}^{\mathsf {T}}\,\,}$   wg. Einheitsmatrix   ${\displaystyle {\underline {E}}={\underline {\mathfrak {e}}}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathsf {T}}}$ und

${\displaystyle {\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}\equiv ({\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}})^{-1}=({\underline {N}}\,{\underline {N}}^{\mathsf {T}})^{*}={\underline {N}}^{*{\mathsf {T}}}\,{\underline {N}}^{*}}$ wird

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*}={\underline {G}}_{\underline {\mathfrak {n}}}^{*}{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {N}}^{*{\mathsf {T}}}\,{\underline {N}}^{*}\,{\underline {N}}\,{\underline {\mathfrak {e}}}={\underline {N}}^{*{\mathsf {T}}}\,{\underline {\mathfrak {e}}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {s}}={\underline {d}}^{\mathsf {T}}{\underline {N}}^{*{\mathsf {T}}}{\underline {\mathfrak {e}}}={\underline {s}}_{\,{\underline {\mathfrak {e}}}}}$,   also   ${\displaystyle {\underline {s}}_{\,{\underline {\mathfrak {e}}}}={\underline {N}}^{*}{\underline {d}}}$

...........................................................................................................................

Wenn wir die reziproken direkt aus den vorgegeben Vektoren ermitteln

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*}={\begin{pmatrix}{\mathfrak {n}}_{1}^{*}\\{\mathfrak {n}}_{2}^{*}\\{\mathfrak {n}}_{3}^{*}\end{pmatrix}}={\frac {1}{V_{\underline {\mathfrak {n}}}}}{\begin{pmatrix}{\mathfrak {n}}_{2}\times {\mathfrak {n}}_{3}\\{\mathfrak {n}}_{3}\times {\mathfrak {n}}_{1}\\{\mathfrak {n}}_{1}\times {\mathfrak {n}}_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{V_{\underline {\mathfrak {n}}}}}{\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}{\mathfrak {e}}_{1}&{\mathfrak {e}}_{2}&{\mathfrak {e}}_{3}\\n_{21}&n_{22}&n_{23}\\n_{31}&n_{32}&n_{33}\end{vmatrix}}\\\,\\{\begin{vmatrix}n_{11}&n_{12}&n_{13}\\{\mathfrak {e}}_{1}&{\mathfrak {e}}_{2}&{\mathfrak {e}}_{3}\\n_{31}&n_{32}&n_{33}\end{vmatrix}}\\\,\\{\begin{vmatrix}n_{11}&n_{12}&n_{13}\\n_{21}&n_{22}&n_{23}\\{\mathfrak {e}}_{1}&{\mathfrak {e}}_{2}&{\mathfrak {e}}_{3}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{V_{\underline {\mathfrak {n}}}}}{\begin{pmatrix}N_{11}{\mathfrak {e}}_{1}+N_{12}{\mathfrak {e}}_{2}+N_{13}{\mathfrak {e}}_{3}\\N_{21}{\mathfrak {e}}_{1}+N_{22}{\mathfrak {e}}_{2}+N_{23}{\mathfrak {e}}_{3}\\N_{31}{\mathfrak {e}}_{1}+N_{32}{\mathfrak {e}}_{2}+N_{33}{\mathfrak {e}}_{3}\end{pmatrix}}}$

also

${\displaystyle {\underline {\mathfrak {n}}}^{*}={\frac {1}{V_{\underline {\mathfrak {n}}}}}{\begin{pmatrix}N_{11}&N_{12}&N_{13}\\N_{21}&N_{22}&N_{23}\\N_{31}&N_{32}&N_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathfrak {e}}_{1}\\{\mathfrak {e}}_{2}\\{\mathfrak {e}}_{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{V_{\underline {\mathfrak {n}}}}}\,\,((N_{ij}))\,\,{\underline {\mathfrak {e}}}}$

Reste ${\displaystyle \,\,\,{\mathsf {oder}}\,\,\,{\underline {\mathfrak {n}}}={\underline {N}}\,\,{\underline {\mathfrak {e}}}\,\,\,{\mathsf {bzw.}}\,\,\,{\underline {\mathfrak {n}}}^{\textsf {T}}={\underline {\mathfrak {e}}}^{\textsf {T}}\,{\underline {N}}^{\textsf {T}}}$ ........................ (5) (5a) (5b)

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\mathfrak {e}}_{1}&{\mathfrak {e}}_{2}&{\mathfrak {e}}_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}n_{11}&n_{12}&n_{13}\\n_{21}&n_{22}&n_{23}\\n_{31}&n_{32}&n_{33}\end{vmatrix}}}$ Resteende