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Betr. gelöschter Abschnitt "Tensor-Divergenz" (März 2011)

Die avisierte Wiedereinfügung ist bisher unterblieben (find ich schade) und das Vorhaben erstmal untergegangen. Nabla-Operator plus Matrizen sind offenbar ein vermintes Gelände!

Bei E. Klingbeil: Tensorrechnung für Ingenieure, 2. Aufl., BI-Wiss.-Verlag 1989, steht auf Seite 76, Gl. (3.18) für die Divergenz eines Tensors 2. Stufe

${\displaystyle \operatorname {Div} \mathrm {\mathbf {T} } \,=\,{\vec {\nabla }}\cdot \mathrm {\mathbf {T} } \,=\,{\vec {g}}\,^{i}\nabla _{i}\cdot T^{kl}{\vec {g}}_{k}{\vec {g}}_{l}\,=\,\delta _{k}^{i}\,{T^{kl}}_{,i}\,\,{\vec {g}}_{l}\,=\,{T^{il}}_{,i}\,\,{\vec {g}}_{l}}$

(hier wegen des anderen typografischen Regimes mit leicht angepaßten Bezeichnungen). Trotz der mitgeführten Basisvektoren ist das aber immer noch "Tensorkalkül".

Etwas elementarer und allgemeiner (aber altmodisch): Jeder (vollständige) Tensor 2. Stufe bezüglich eines dreidimensionalen (geometrischen) Vektorraums ist als Summe dreier dyadischer Produkte darstellbar. Nach der Produktregel wird

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \mathrm {\mathbf {T} } \,=\,{\vec {\nabla }}\cdot \Sigma _{\nu }\,{\vec {A}}_{\nu }\,{\vec {B}}_{\nu }\,=\,\Sigma _{\nu }\,{\vec {\nabla }}\cdot {\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}_{\nu }\,{\vec {B}}_{\nu }\,+\,\Sigma _{\nu }\,{\vec {A}}_{\nu }\cdot {\vec {\nabla }}\,{\stackrel {\downarrow }{\vec {B}}}_{\nu }}$

(in der letzten Summe wurden die Skalarprodukt-Faktoren einfach vertauscht). Die erste Summe ist also die Linearkombination der Rechtsfakoren des Tensors mit den Divergenzen der Linksfaktoren als "Koeffizienten" (die natürlich skalare Feldfunktionen sind). Und die Skalarprodukte in der 2. Summe sind (bis auf je einen betragsbedingten Faktor) skalare Richtungsdifferentialoperatoren (und deshalb könnte hier das Ausrechnen der Vektor-Gradienten für die Rechtsfaktoren vermieden werden). Die erste bzw. zweite Summe verschwindet, wenn (ggf. nach entsprechender Transformation) die Links- bzw. die Rechtsfaktoren eine feste (z. B. kartesische) Basis bilden. Schöne Grüße! WMdd --89.199.203.195 18:25, 26. Jun. 2013 (CEST)

(s. Max Lagally: Vorlesungen über Vektorrechnung (3. Aufl.), Akadem. Verlagsgesellschaft, Leipzig 1944; S. 54-55)

[ Kapitel 1. Elementare Vektoralgebra ]

"38. Der Tensorbegriff. Der Umstand, daß sich unter den affinen Abbildungen die Dehnung befindet, hat dazu geführt, den diese Dehnung vermittelnden Operator, die symmetrische Dyade, als Tensor zu bezeichnen. Heute gebraucht man das Wort Tensor in viel allgemeinerem Sinn; man versteht unter einem Tensor eine homogene Summe von unbestimmten Produkten aus beliebig vielen Faktoren, deren Anzahl Stufe des Tensors genannt wird. Damit ist also die Dyade als Tensor 2. Stufe zu bezeichnen, während der Vektor als Tensor 1. Stufe zu gelten hat; auch die gelegentliche Bezeichnung eines Skalars als Tensor nullter Stufe besitzt Berechtigung.

Der Tensor n-ter Stufe ist also eine homogene Form n-ten Grades, aus Vektoren in formaler Weise aufgebaut.

Ein Tensor 3. Stufe z. B. kann folgendermaßen aussehen:

${\displaystyle \tau ={\mathfrak {A}}_{1}{\mathfrak {B}}_{1}{\mathfrak {C}}_{1}+{\mathfrak {A}}_{2}{\mathfrak {B}}_{2}{\mathfrak {C}}_{2}+...\,\,{\mathfrak {A}}_{n}{\mathfrak {B}}_{n}{\mathfrak {C}}_{n}}$. ............ (111)

wobei ohne Beweis erwähnt werden soll, daß der allgemeine Tensor 3. Stufe 9 Summanden enthält; bei Beziehung sämtlicher Vektoren auf ein Dreibein entsteht folgender Ausdruck von 27 Summanden:

${\displaystyle \tau =a_{111}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {i}}+a_{112}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {j}}+a_{113}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {k}}+a_{121}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {j}}{\mathfrak {i}}+a_{122}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {j}}{\mathfrak {j}}+a_{123}{\mathfrak {i}}{\mathfrak {j}}{\mathfrak {k}}+...\,\,a_{333}{\mathfrak {k}}{\mathfrak {k}}{\mathfrak {k}}}$. ............ (111')

Dabei gelten für das unbestimmte Produkt von mehr als 2 Faktoren folgende formalen Gesetze:

a) das assoziative Gesetz:

${\displaystyle {\mathfrak {A}}({\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}})=({\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}){\mathfrak {C}}={\mathfrak {A}}{\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}}}$; ............ (112)

b) das distributive Gesetz, z.B. für den ersten Faktor:

${\displaystyle ({\mathfrak {A}}_{1}+{\mathfrak {A}}_{2}){\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}}={\mathfrak {A}}_{1}{\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}}+{\mathfrak {A}}_{2}{\mathfrak {B}}{\mathfrak {C}}}$ ............ (113)

Man kann diese Gesetze in ähnlicher Weise begründen wie das distributive Gesetz ... für dyadische Produkte, und sie schrittweise für beliebig viele Faktoren erweitern, wenn man sich damit begnügt, die Tensoren höherer als zweiter Stufe ähnlich wie die Dyaden als Operatoren zu betrachten; schreibt man jedoch den Tensoren als Größen höherer Art eine selbständige Existenz zu, so tut man am besten, die beiden Gesetz zu postulieren und sich auf ihre Widerspruchsfreiheit zu berufen.

Das distributive Gesetz findet seine erste Verwendung bei der Reduktion eines Tensors auf seine typische Form von möglichst wenig Summanden, oder bei der Einführung einer Basis, z. B. eines Dreibeins als Bezugssystem."

Die drei Basisvektoren ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{1},\,{\mathfrak {e}}_{2},\,{\mathfrak {e}}_{3}}$ sind Einheitsvektoren, die paarweise aufeinander senkrecht stehen und in der genannten Reihenfolge ein Rechtssystem bilden (s. Koordinatensystem). Damit gilt für die Skalarprodukte der Basisvektoren

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{i}\cdot {\mathfrak {e}}_{j}=\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{ für }}i\neq j\\1&{\text{ für }}i=j\end{cases}}\,\,}$ ....................... (1) .