Benutzer:Solid State/HMS

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Die Hermann-Mauguin-Symbolik wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Als international anerkannte Notation wird sie primär zur Beschreibung der 32 Punktgruppen (PG) und 230 Raumgruppen (RG) in der Kristallographie verwendet. Sie wurde von den namensgebenden Kristallographen Carl Hermann (1898–1961) und Charles-Victor Mauguin (1878–1958) entwickelt und ist seitdem in den erstmals 1935 erschienenen International Tables for Crystallography normiert.

Weiterhin wird sie unter anderem zur Beschreibung ebener kristallographischer Gruppen und Bandornamentgruppen sowie weiterer, nicht-kristallographischer Gruppen angewendet.

Neben der Hermann-Mauguin-Symbolik existiert auch die von Arthur Schoenflies entwickelte Schoenflies-Symbolik. Diese wird jedoch praktisch nicht mehr für die Beschreibung des kristallinen Zustands, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen genutzt.

Die in der Kristallographie verwendeten Hermann-Mauguin-Symbole für die 32 Punkt- und 230 Raumgruppen sind nachfolgend beschrieben.

Symbole der kristallographischen Punkt- (PG) und Raumgruppen (RG)

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einfache Symmetrieelemente

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einfache Symmetrieelemente bestehen aus nur einer Symmetrieoperation. Dazu zählen das Inversionszentrum, Drehachsen und Spiegelebenen.

Inversionszentrum

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Inversionszentrum vervielfältigt ein Teilchen durch Punktspiegelung, dabei entstehen zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Es wird dargestellt durch das Symbol 1 (gesprochen „1 quer“).

Symmetrie­element Symmetrie­operation Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol Beschreibung Spiegelung tkl mkl orth tetr trig hex kub
1 Inversionszentrum Punkt +

Inversionszentren sind Element aller zentrosymmetrischen PG und RG. Als Symbol relevant sind sie nur für die PG 1 und RG P1 (Nr. 2). In höheren zentrosymmetrischen PG und RG werden Inversionszentren durch Kombination anderer Symmetrieelemente (z.B. 2/m) erzeugt, das Symbol 1 entfällt hierbei.

Drehachsen vervielfältigen ein Teilchen durch Drehung um 360°/n, dabei entstehen „n“ symmetrieäquivalente Teilchen. Eine Drehachse wird dargestellt durch das Symbol „n“ mit n = 1, 2, 3, 4, 6 (gesprochen „n-zählige Drehachse“). Für „n“ existieren in der Kristallographie keine weiteren als die vorgenannten Werte, da andere Werte (z.B. n = 5, 7, 8) mit der erforderlichen Translation des Gitters zur zwingend lückenlosen Parkettierung des dreidimensionalen Raumes nicht vereinbar sind.

Symmetrie­element Symmetrie­operation Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol (n) Beschreibung Drehung tkl mkl orth tetr trig hex kub
1 1-zählige Drehachse 360° + (+) (+) (+) (+) (+) (+)
2 2-zählige Drehachse 180° + + + + + +
3 3-zählige Drehachse 120° + +
4 4-zählige Drehachse 090° + +
6 6-zählige Drehachse 060° +

Die Identität, d.h. Drehung um 360°, ist ein Element aller PG und RG. Sie ist als Symbol 1 jedoch nur für trikline sowie für höher symmetrische enantiomorphe PG und RG relevant und entfällt ansonsten in den Symbolen.

Eine Spiegelebene vervielfältigt ein Teilchen durch Ebenenspiegelung, dabei entstehen zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Sie wird dargestellt durch das Symbol m.

Symmetrie­element Symmetrie­operation Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol Beschreibung Spiegelung tkl mkl orth tetr trig hex kub
m Spiegelebene Ebene + + + + + +

Gekoppelte Symmetrieelemente

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein gekoppeltes Symmetrieelement besteht aus einer Drehachse (Drehung um 360°/n mit n = 2, 3, 4, 6) gekoppelt mit einem auf dieser Achse befindlichen Inversionszentrum, dadurch entsteht eine Drehinversionsachse. Diese ist ein gekoppeltes Symmetrieelement, da die beiden Symmetrieoperationen – Drehung und Punktspiegelung – nicht unabhängig voneinander ausgeführt werden können. Eine Drehinversionsachse wird dargestellt durch das Symbol „n“ (gesprochen „n-zählige Drehinversionsachse“ oder „n quer“).

Symmetrie­element Symmetrie­operationen Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol (n) Beschreibung Drehung Spiege­lung tkl mkl orth tetr trig hex kub
2 2-zählige Dreh­inversions­achse 180° Punkt + + + + + +
3 3-zählige Dreh­inversions­achse 120° + +
4 4-zählige Dreh­inversions­achse 090° + +
6 6-zählige Dreh­inversions­achse 060° +
Symbol wird nicht verwendet, da die Symmetrioperationen es zum selben Ergebnis wie m führen

Kombinierte Symmetrieelemente

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein kombiniertes Symmetrieelement besteht aus einer Drehachse (Drehung um 360°/n mit n = 1, 2, 3, 4, 6) kombiniert mit einer dazu senkrecht (⊥) befindlichen Spiegelebene m. Dies ist ein kombiniertes Symmetrieelement, da die beiden Symmetrieoperationen – Drehung und Ebenenspiegelung – unabhängig voneinander ausgeführt werden können. Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene wird dargestellt durch das Symbol „n/m“ (gesprochen „n über m“).

Symmetrie­element Symmetrie­operationen Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol (n/m) Beschreibung Drehung Spiegelung tkl mkl orth tetr trig hex kub
2/m 2-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene 180° Ebene + + + + + +
3/m 3-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene 120° +
4/m 4-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene 090° + +
6/m 6-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene 060° +
Symbol wird nicht verwendet, da die Symmetrioperationen es zum selben Ergebnis wie 6 führen

Reihenfolge der Punktgruppensymbole

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen) vollständig beschreiben, da diese im Gegensatz zu den Raumgruppen keine translationshaltigen Symmetrieelemente beinhalten können.

Im triklinen Kristallsystem gibt es nur – unabhängig von einer kristallographischen Richtung – die Ab- (1) oder Anwesenheit (1) von Inversionszentren. In den höher symmetrischen Kristallsystemen wird die Orientierung der Symmetrieelemente anhand von maximal drei vorgegebenen kristallographischen Richtungen – unter Verwendung der Millerschen Indizes – angegeben. Die Symmetrieelemente sind dabei wie folgt orientiert:

  • Dreh- („n“) und Drehinversionsachsen („n“) sind parallel (||) zu spezifischen Richtungen [uvw] bzw. zu allen dazu symmetrie­äquivalenten Richtungen <uvw>
  • Spiegelebenen (m) sind senkrecht (⊥) zu spezifischen Richtungen [uvw] bzw. zu allen dazu symmetrie­äquivalenten Richtungen <uvw>
Kristallsystem Kristallographische Richtung(en) Mögliche Symmetrie­elemente Anmerkungen
1. Sym­bol 2. Sym­bol 3. Sym­bol 1. Sym­bol 2. Sym­bol 3. Sym­bol
triklin 1, 1 Richtungsunabhängige Ab- oder Anwesenheit von Inversionszentren
monoklin [100] [010] [001] 1 2, m, 2/m 1 Aufstellung: b – [010] – als ausgezeichnete Achse (1st Setting)
[100] [010] [001] 1 1 2, m, 2/m Aufstellung: c – [001] – als ausgezeichnete Achse (2nd Setting)
orthorhombisch [100] [010] [001] 2, m, 2/m 2, m, 2/m 2, m, 2/m
tetragonal [001] <100> <110> 4, 4, 4/m 2, m, 2/m 2, m, 2/m
trigonal [111] <110> 3, 3 2, m, 2/m Aufstellung: hexagonal-rhomboedrisch (hR)
[001] <100> <120> 3, 3 1, 2, m, 2/m 1, 2, m, 2/m Aufstellung: hexagonal-primitiv (hP)
hexagonal 6, 6, 6/m 2, m, 2/m 2, m, 2/m
kubisch <100> <111> <110> 2, 2/m, 4, 4, 4/m 3, 3 2, m, 2/m

Für alle Punktgruppen der jeweiligen Kristallsysteme angegeben, da stets Bestandteil der Holoedrie und Paramorphie (Hemiedrie)
Nur für Punktgruppen der Holoedrie der folgenden Kristallsysteme angegeben und relevant: tetragonal, trigonal, hexagonal und kubisch
Nur (bei Bedarf) im Langsymbol angegeben
Richtung und/oder Symmetrieelemente nicht vorhanden

Für eine komplette Übersicht der Lang- und Kurzsymbole der Punktgruppen siehe Punktgruppe#Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen).

Beispiele – Lauegruppen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachfolgende Beispiele beschreiben die Holoedrie (die jeweils höchst-symmetrische Punktgruppe, die der Punktgruppe des jeweiligen Gitters entspricht) der sieben Kristallsysteme sowie die Paramorphie (Hemiedrie) des tetragonalen, trigonalen, hexagonalen und kubischen Kristallsystems. Diese Punktgruppen entsprechen den elf Lauegruppen.

Die Tabellen nutzen dabei das oben beschriebene Farbschema. Sofern dabei symmetrie­äquivalente Richtungen – nur relevant für die tetragonale, trigonale, hexagonale und kubische Holoedrie – auftreten, sind diese in der optionalen Spalte „<uvw>“ mit den zugehörigen spezifischen Richtungen [uvw] angegeben.

triklin-pinakoidal
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) trilklin-pinakoidal (Nr. 2) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbol 1 beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des triklinen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trikline Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol Richtung Beschreibung
1 Richtungsunabhängige Anwesenheit von Inversionszentren
monoklin-prismatisch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) monolkin-prismatisch (Nr. 5) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 12/m1 oder 112/m (Langsymbole) bzw. 2/m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des monoklinen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das monokline Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

1st Setting: [010] (b-Achse) als monokline Achse
Symbol Richtung Beschreibung
1. Symbol 1 [100] Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt
2. Symbol 2/m [010] 2-zählige Drehachse || b-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
3. Symbol 1 [001] Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt

oder

2nd Setting: [001] (c-Achse) als monokline Achse
Symbol Richtung Beschreibung
1. Symbol 1 [100] Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt
2. Symbol 1 [010]
3. Symbol 2/m [001] 2-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene

Anhand des Kurzsymbols 2/m lässt sich also nicht erkennen, welche Aufstellung gewählt wurde. Erst die Langsymbole 12/m1 (1st Setting) und 112/m (2nd Setting) geben Auskunft darüber. Durch eine weitere – jedoch unübliche – Umstellung der Achsen, kann auch [100] als monokline a-Achse gewählt werden, wodurch das Langsymbol 2/m11 entsteht.

orthorhombisch-dipyramidal
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) orthorohmbisch-dipyramidal (Nr. 8) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 2/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des orthorombischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das orthorhombische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol Richtung Beschreibung
1. Symbol 2/m [100] 2-zählige Drehachse || a-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol 2/m [010] 2-zählige Drehachse || b-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
3. Symbol 2/m [001] 2-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
tetragonal-dipyramidal
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) tetragonal-dipyramidal (Nr. 11) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbole 4/m (Lang- & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des tetragonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das tetragonale Kristallsystem ist das Symmetrieelement wie folgt orientiert:

Symbol Richtung Beschreibung
1. Symbol 4/m [001] 4-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol
ditetragonal-dipyramidal
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) ditetragonal-dipyramidal (Nr. 15) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 4/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. 4/mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des tetragonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das tetragonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol Richtung(en) <uvw> Beschreibung
1. Symbol 4/m [001] 4-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol 2/m <100> [100] [010] 2-zählige Drehachsen || a1=a2-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol 2/m <110> [110] [110] 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) rhomboedrisch (Nr. 17) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbol 3 (Lang- & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des trigonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trigonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Aufstellung: rhomboedrisch (hR)
Symbol Richtung(en) Beschreibung
1. Symbol 3 [111] 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
2. Symbol Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol

oder

Aufstellung: hexagonal-primitiv (hP)
Symbol Richtung(en) Beschreibung
1. Symbol 3 [001] 3-zählige Drehinversionsachse || c-Achse
2. Symbol Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol
ditrigonal-skalenoedrisch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) ditrigonal-skalenoedrisch (Nr. 20) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 32/m1 (Langsymbol) bzw. 3m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des trigonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trigonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Aufstellung: rhomboedrisch (hR)
Symbol Richtung(en) <uvw> Beschreibung
1. Symbol 3 [111] 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
2. Symbol 2/m <110> [110] [011] [101] 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol Entfällt bei rhomboedrischer Zentrierung

oder

Aufstellung: hexagonal-primitiv (hP)
Symbol Richtung(en) <uvw> Beschreibung
1. Symbol 3 [001] 3-zählige Drehinversionsachse || c-Achse
2. Symbol 2/m <100> [100] [010] [110] 2-zählige Drehachsen || a1=a2(=a3)-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol 1 <120> [120] [110] [210] Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt
hexagonal-dipyramidal
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) hexagonal-dipyramidal (Nr. 23) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbole 6/m (Langsymbol & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des hexagonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das hexagonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol Richtung(en) Beschreibung
1. Symbol 6/m [001] 6-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol
dihexagonal-dipyramidal
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) dihexagonal-dipyramidal (Nr. 27) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 6/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. 6/mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des hexagonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das hexagonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol Richtung(en) <uvw> Beschreibung
1. Symbol 6/m [001] 6-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol 2/m <100> [100] [010] [110] 2-zählige Drehachsen || a1=a2(=a3)-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol 2/m <120> [120] [110] [210] 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
disdodekaedrisch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) disdodekaedrisch (Nr. 30) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 2/m3 (Langsymbol) bzw. m3 (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der der gleichnamigen Lauegruppe bzw. Hemiedrie des kubischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das kubische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol Richtung(en) <uvw> Beschreibung
1. Symbol 2/m <100> [100] [010] [001] 2-zählige Drehachsen || a1=a2=a3-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
2. Symbol 3 <111> [111] [111] [111] [111] 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
3. Symbol Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
hexakisoktaedisch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) hexakisoktaedisch (Nr. 32) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 4/m32/m (Langsymbol) bzw. m3m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der der gleichnamigen Lauegruppe bzw. Holoedrie des kubischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das kubische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol Richtung(en) <uvw> Beschreibung
1. Symbol 4/m <100> [100] [010] [001] 4-zählige Drehachsen || a1=a2=a3-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
2. Symbol 3 <111> [111] [111] [111] [111] 3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
3. Symbol 2/m <110> [110] [110] [011] [011] [101] [101] 2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen

Symbole der kristallographischen Raumgruppen (RG)

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Symbole der Raumgruppen (RG) unterscheiden sich von den Symbolen der Punktgruppen (PG) wie folgt:

Da Einkristalle makroskopisch stets nur Symmetrieelemente der Punktgruppen erkennen lassen, sind translationshaltige Symmetrieelemente sowie die Gitterzentrierung nur für die Raumgruppen relevant und treten folglich in der Beschreibung der Punktgruppen nicht auf.

Gitterzentrierung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das erste Symbol entspricht dem Pearson-Symbol für die Zentrierung des Bravais-Gitters der Raumgruppe.

Zentrierung des Bravais-Gitters Mögliche Zentrierungen in den Kristallfamilien bzw. -systemen
Symbol Bezeichnung Gitterpunkte tkl (a) mkl (m) orth (o) tetr (t) trig (h) hex (h) kub (c)
P primitiv Ecken aP mP oP tP hP cP
R rhomboedrisch Ecken hR
C basis­flächen­zentriert oder ein­seitig flächen­zentriert Ecken & Zentrum der ab-Fläche (001) mC oC
B Ecken & Zentrum der ac-Fläche (010) mB oB
A Ecken & Zentrum der bc-Fläche (100) mA oA
F (allseitig) flächenzentriert Ecken & Zentren aller Flächen oF cF
I innen- oder raumzentriert Ecken & Zentrum der Elementarzelle oI tI cI

Pearson-Symbole der 14 möglichen Bravais-Gitter im dreidimensionalen Raum
Alternative Basisflächen-Zentrierungen im monoklinen und orthorhombischen Kristallsystem
Nicht möglich

Im trigonalen Kristallsystem wird die rhomboedrische Zentrierung mit hexagonal rhomboedrisch (hR) angegeben und die primitive Zentrierung entspricht dem hexagonal primitiven Gitter (hP), da beide Kristallsysteme der hexagonalen Kristallfamilie (h) angehören.

Translationshaltige Symmetrieelemente

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Translationshaltige Symmetrieelemente beinhalten zu den Symmetrieoperationen Drehung oder Ebenenspiegelung auch eine daran gekoppelte Translation (Parallelverschiebung). Drehachsen werden dadurch zu Schraubenachsen, Spiegelebenen zu Gleitspiegelebenen.

Schraubenachsen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Drehung um 360°/n mit n = 2, 3, 4, 6 und Translation parallel (||) der Drehachse mit dem Betrag mn eines Gittervektors, entsteht jeweils eine Schraubenachse mit dem Symbol „nm“ (gesprochen „nm“ Schraubenachse, z.B. 31: „Drei-Eins-Schraubenachse“). Durch die jeweiligen Translationsbeiträge winden sich die Schraubenachsen in den Kristallstrukturen nach rechts (21, 31, 41, 42, 61, 62, 63) oder links (32, 43, 64, 65), wodurch folgende enantiomorphe (spiegelbildliche) Paare entstehen: 31 & 32; 41 & 43; 61 & 65; 62 & 64.

Symmetrie­element Symmetrie­operationen AST Enantio­morphie Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol (nm) Beschreibung Drehung Translation || Achse tkl mkl orth tetr trig hex kub
21 21 Schraubenachse 180° 12 Gittervektor 2 + + + +
31 31 Schraubenachse 120° 13 Gittervektor 3 32 +
32 32 Schraubenachse 23 Gittervektor 31
41 41 Schraubenachse 090° 14 Gittervektor 4 43 + +
42 42 Schraubenachse 12 Gittervektor
43 43 Schraubenachse 34 Gittervektor 41
61 61 Schraubenachse 060° 16 Gittervektor 6 65 +
62 62 Schraubenachse 13 Gittervektor 64
63 63 Schraubenachse 12 Gittervektor
64 64 Schraubenachse 23 Gittervektor 62
65 65 Schraubenachse 56 Gittervektor 61

Gleitspiegelebenen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gleitspiegelebenen bestehen aus einer Ebenenspiegelung und einer Translation mit dem Betrag 1n eines Gittervektors mit n = 2, 4. Dabei können die nachfolgend beschriebenen vier Typen von Gleitspiegelebenen unterschieden werden.

Axiale Gleitspiegelebenen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Axiale Gleitspiegelebenen (a, b, c) vervielfältigen ein Teilchen durch Ebenenspiegelung und einer daran gekoppelten Translation um 12 Gitterparameter:

Symmetrie­element Symmetrie­operationen Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol Orientierung Spiegelung Translation tkl mkl orth tetr trig hex kub
a ⊥ [010] oder ⊥ [001] Ebene 12a (+) + +
b ⊥ [100] oder ⊥ [001] 12b (+) +
c ⊥ [100] oder ⊥ [010] 12c + +
⊥ [110] oder ⊥ [110] +
⊥ [100] oder ⊥ [010] oder ⊥ [110] + +
⊥ [110] oder ⊥ [120] oder ⊥ [210] + +
Doppelte Gleitspiegelebenen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Doppelte Gleitspiegelebenen (e) vervielfältigen ein Teilchen durch Ebenenspiegelung und daran gekoppelten Translationen um 12 von zwei senkrecht zueinander stehenden Gitterparametern:

Symmetrie­element Symmetrie­operationen Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol Orientierung Spiegelung Translation tkl mkl orth tetr trig hex kub
e ⊥ [100] Ebene 12b und 12c
⊥ [010] 12a und 12c
⊥ [001]  12b und 12c
⊥ [110]; ⊥ [110]  12(a + b) und 12c; 12(a − b) und 12c
⊥ [011]; ⊥ [011]  12(b + c) und 12a; 12(b − c) und 12a
⊥ [101]; ⊥ [101]  12(a + c) und 12b; 12(a − c) und 12b
Diagonale Gleitspiegelebenen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Symmetrie­element Symmetrie­operationen Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol Orientierung Spiegelung Translation tkl mkl orth tetr trig hex kub
n ⊥ [001]; ⊥ [100]; ⊥ [010] Ebene 12(a + b); 12(b + c); 12(a + c)
⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101] 12(−a +b + c); 12(a −b + c); 12(a +b − c)
⊥ [110] oder ⊥ [011] oder ⊥ [101]  12(a +b + c)
Diamant-Gleitspiegelebenen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Symmetrie­element Symmetrie­operationen Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol Orientierung Spiegelung Translation tkl mkl orth tetr trig hex kub
d ⊥ [001]; ⊥ [100]; ⊥ [010] Ebene 14(a ± b); 14(b ± c); 14(a ± c)
⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101] 14(−a + b ± c); 14a − b + c); 14(a ± b − c)
⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101] 14(a + b ± c); 14a + b + c); 14(a ± b + c)

Gleitspiegelebenen bestehen aus einer Spiegelebene und Translation um ½ Gittervektor (a, b, c) bzw. zweier Gittervektoren (e) oder um ½ (n) bzw. ¼ (d) einer Flächendiagonalen.

  • , oder : Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors
  • : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale
  • : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale
  • : zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren