Benutzer:SigmaB/Hilbertscher Nullstellensatz
Der hilbertsche Nullstellensatz ist ein zentraler Satz in der klassischen algebraischen Geometrie. Er liefert für einen algebraisch abgeschlossene Körper eine Bijektion zwischen algebraischen Mengen in und Radikalidealen im Polynoming . Damit erhält man eine Verbindung zwischen den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra. Benannt ist der Nullstellensatz nach David Hilbert, der ihn 1893 veröffentlichte.
Formulierung des Nullstellensatzes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein Ideal. Dann gilt:
- Hierbei ist
- das Radikal von , also .
- die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von (wie oben), und
- das Ideal aller Polynome, die auf verschwinden.
- Die Inklusion ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von ist auch Nullstelle von .
Äquivalente Versionen des Nullstellensatzes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Schwacher Nullstellensatz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ist ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein echtes Ideal, so gibt es ein , so dass
- für alle .
- ist also eine gemeinsame Nullstelle aller Elemente von .
- Es sei ein Körper und ein maximales Ideal in . Dann ist der Grad der Körpererweiterung endlich.
- Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein maximales Ideal in . Dann ist für einen Punkt
Zariskis Lemma
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Es sei ein Körper und eine Körpererweiterung, die als -Algebra endlich erzeugt ist. Dann ist endlich; insbesondere ist die Erweiterung algebraisch.
Folgerungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aus dem hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass die Abbildungen und für einen algebraisch abgeschlossenen Körper eine bijektive Beziehung zwischen affinen algebraischen Mengen in und Radikalidealen in definieren. Diese lässt sich einschränken auf bijektive Beziehungen zwischen irreduziblen algebraischen Mengen und Primidealen und zwischen Punkten in und maximalen Idealen.
Projektiver Nullstellensatz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- David Hilbert: Über die vollen Invariantensysteme. Math. Ann. 42, 1893, S. 313-373, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002254263.
- J. L. Rabinowitsch: Zum Hilbertschen Nullstellensatz Math. Ann. 102, 1930, S. 520, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002273764.
- Oscar Zariski: A new proof of Hilbert's Nullstellensatz.. Bull. Amer. Math. Soc. 53, no. 4, 1947, S. 362-368, http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183510605.