Benutzer:SigmaB/Hilbertscher Nullstellensatz

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Der hilbertsche Nullstellensatz ist ein zentraler Satz in der klassischen algebraischen Geometrie. Er liefert für einen algebraisch abgeschlossene Körper ${\displaystyle K}$ eine Bijektion zwischen algebraischen Mengen in ${\displaystyle K^{n}}$ und Radikalidealen im Polynoming ${\displaystyle K[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$. Damit erhält man eine Verbindung zwischen den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra. Benannt ist der Nullstellensatz nach David Hilbert, der ihn 1893 veröffentlichte.

Sei ${\displaystyle K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ein Ideal. Dann gilt:

${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}=I(V({\mathfrak {a}})).}$

Hierbei ist

• ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$ das Radikal von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, also ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}:=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]\mid \exists n\in \mathbb {N} :f^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}$.
• ${\displaystyle V({\mathfrak {a}}):=\{x\in K^{n}\mid f(x)=0\forall f\in {\mathfrak {a}}\}\subseteq K^{n}}$ die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ (wie oben), und
• ${\displaystyle I(X):=\{f\in K[X_{1},\dotsc ,X_{n}]\mid f_{X}=0\}}$ das Ideal aller Polynome, die auf ${\displaystyle X\subseteq K^{n}}$ verschwinden.

Die Inklusion ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\subset I(V({\mathfrak {a}}))}$ ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von ${\displaystyle f(T)^{r}}$ ist auch Nullstelle von ${\displaystyle f(T)}$.

• Ist ${\displaystyle K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein echtes Ideal, so gibt es ein ${\displaystyle x\in K^{n}}$, so dass

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$ für alle ${\displaystyle f\in {\mathfrak {a}}}$.

${\displaystyle x}$ ist also eine gemeinsame Nullstelle aller Elemente von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

• Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ein maximales Ideal in ${\displaystyle A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Dann ist der Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle [A/{\mathfrak {m}}:K]}$ endlich.

• Es sei ${\displaystyle K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ein maximales Ideal in ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Dann ist ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})}$ für einen Punkt ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}}$

• Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung, die als ${\displaystyle K}$-Algebra endlich erzeugt ist. Dann ist ${\displaystyle [L:K]}$ endlich; insbesondere ist die Erweiterung algebraisch.

Aus dem hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass die Abbildungen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle I}$ für einen algebraisch abgeschlossenen Körper eine bijektive Beziehung zwischen affinen algebraischen Mengen in ${\displaystyle K^{n}}$ und Radikalidealen in ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ definieren. Diese lässt sich einschränken auf bijektive Beziehungen zwischen irreduziblen algebraischen Mengen und Primidealen und zwischen Punkten in ${\displaystyle K^{n}}$ und maximalen Idealen.

• Noetherscher Normalisierungssatz
• Artin-Tate Lemma

• David Hilbert: Über die vollen Invariantensysteme. Math. Ann. 42, 1893, S. 313-373, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002254263.
• J. L. Rabinowitsch: Zum Hilbertschen Nullstellensatz Math. Ann. 102, 1930, S. 520, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002273764.
• Oscar Zariski: A new proof of Hilbert's Nullstellensatz.. Bull. Amer. Math. Soc. 53, no. 4, 1947, S. 362-368, http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183510605.

• 

  Wikiversity: Ein Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes – Kursmaterialien
• Terence Tao Hilberts Nullstellensatz