Benutzer:Sigma^2/Anziehungsbereich

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Sigma^2 auf.

Der Anziehungsbereich einer Verteilungsfunktion ist ein Fachbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie im Zusammenhang mit der Verteilungskonvergenz von Folgen von Zufallsvariablen. Für eine gegebene Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ besteht der Anziehungsbereich aus allen Verteilungsfunktionen ${\displaystyle F}$ für die, falls die Partialsummen (bzw. die Maxima, bzw. die Minima) einer Folge unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen mit der Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ in Verteilung gegen ein asymptotischee Verteilung mit Verteilungstyp von ${\displaystyle G}$ konvergieren.

${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bezeichne eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen mit derselben Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bezeichne die Folge der zugehörigen Partialsummen ${\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}X_{n}}$ von Zufallsvariablen. Falls Folgen von Konstanten ${\displaystyle (a_{n})_{n\in N}}$ und ${\displaystyle (b_{n})_{n\in N}}$ so existieren, dass die Verteilungsfunktionen der transformierten Zufallsvariablen

${\displaystyle {\frac {S_{n}-a_{n}}{b_{n}}}}$

gegen eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ konvergieren, so gehört ${\displaystyle F}$ zum Anziehungsbereich der Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ (bezogen auf die Konvergenz von Summen).

• Zwei Verteilungsfunktionen mit demselben Verteilungstyp haben denselben Anziehungsbereich. Dies folgt aus dem Satz über Typenkonvergenz.
• Bezogen auf die Konvergenz der Summen besitzt die Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ einer nicht degenerierten Verteilung genau dann einen Anziehungsbereich, wenn ${\displaystyle G}$ zum stabilen Verteilungstyp gehört.
• Eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ gehört dem Anziehungsbereich der Normalverteilung (bezogen auf die Konvergenz von Summen) genau dann an, wenn

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}\int _{|y|\leq x}\mathrm {d} F(y)}{\int _{|y|\leq x}y^{2}\mathrm {d} F(y)}}=0}$

gilt. Eine Normalverteilung ist eine stabile Verteilung mit dem charakteristischen Exponenten 2.

${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bezeichne eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen mit derselben Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$. ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bezeichne die Folge von Zufallsvariablen der Maxima ${\displaystyle M_{n}=\max _{j=1}^{n}X_{j}}$. Falls Folgen von Konstanten ${\displaystyle (a_{n})_{n\in N}}$ und ${\displaystyle (b_{n})_{n\in N}}$ so existieren, dass die Verteilungsfunktionen der transformierten Zufallsvariablen

${\displaystyle {\frac {M_{n}-a_{n}}{b_{n}}}}$

gegen eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ konvergieren, so gehört ${\displaystyle F}$ zum Anziehungsbereich der Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ bezogen auf die Maxima.

• Zwei Verteilungsfunktionen mit demselben Verteilungstyp haben denselben Anziehungsbereich.
• Bezogen auf die Konvergenz der Maxima besitzt eine nichtdegenerierte Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ genau dann einen Anziehungsbereich, falls ${\displaystyle G}$ zum max-stabilen Verteilungstyp gehört.

${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bezeichne eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen mit derselben Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$. ${\displaystyle (m_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bezeichne die Folge von Zufallsvariablen der Minima ${\displaystyle m_{n}=\min _{j=1}^{n}X_{j}}$. Falls Folgen von Konstanten ${\displaystyle (a_{n})_{n\in N}}$ und ${\displaystyle (b_{n})_{n\in N}}$ so existieren, dass die Verteilungsfunktionen der transformierten Zufallsvariablen

${\displaystyle {\frac {m_{n}-a_{n}}{b_{n}}}}$

gegen eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ konvergieren, so gehört ${\displaystyle F}$ zum Anziehungsbereich der Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ bezogen auf die Minima.

• Zwei Verteilungsfunktionen mit demselben Verteilungstyp haben denselben Anziehungsbereich.
• Bezogen auf die Konvergenz der Minima besitzt eine nichtdegenerierte Verteilungsfunktion ${\displaystyle G}$ genau dann einen Anziehungsbereich, falls ${\displaystyle G}$ zum min-stabilen Verteilungstyp gehört.
• Aussagen über die Konvergenz der Maxima übertragen sich auf die Minima, da ${\displaystyle m_{n}=-\max _{j=1}^{n}Y_{j}}$ mit ${\displaystyle Y_{j}=-X_{j}}$ für ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

• Anziehungsbereich einer Verteilungsfunktion (domain of attraction of a distributiion function). In: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 11–12.