Benutzer:Sabata/Testfunktion

Der Begriff der Testfunktionen ist nicht eindeutig definiert. So werden reellwertige Funktionen, die beliebig oft differenzierbar sind und deren Träger kompakt in der Definitionsmenge liegen als Testfunktionen bezeichnet. Die Kompaktheit der Träger wird nicht immer gefordert, manchmal werden auch weniger glatte Funktionen Testfunktionen genannt. In der Theorie der Distributionen werden schnell fallende Funktionen als Testfunktionen benutzt.

Für ein Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ und eine Funktion ${\displaystyle \varphi :\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {supp} \,\varphi }$ den Träger von ${\displaystyle \varphi }$. Ist ${\displaystyle \varphi }$ beliebig oft differenzierbar - kurz ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(\Omega )}$ - und ist der Träger von ${\displaystyle \varphi }$ kompakt mit ${\displaystyle \operatorname {supp} \,\varphi \subset \Omega }$, so wird ${\displaystyle \varphi }$ Testfunktion genannt. Die Menge aller Testfunktionen auf ${\displaystyle \Omega }$ wird mit ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ oder auch ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ bezeichnet. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ist ein Vektorraum.

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen werden Testfunktionen benutzt, um den Begriff der schwachen Lösung zu definieren.

Beispiel: Betrachtet man die eindimensionale Poisson-Gleichung auf ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u''&=&f&\quad \mathrm {in} \ (0,1)\\u(0)&=&0&\\u(1)&=&0\end{array}}}$

für ${\displaystyle u\in C^{2}(0,1)}$ und ${\displaystyle f\in C(0,1)}$. Eine Funktion ${\displaystyle v\in C^{1}(0,1)}$, die für alle ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(0,1)}$ die Gleichung

${\displaystyle \int _{0}^{1}v'\varphi '-f\varphi \mathrm {d} \lambda =0}$

erfüllt, wird schwache Lösung der Poisson-Gleichung genannt. Mit Hilfe der partiellen Integration kann leicht gezeigt werden, dass jede klassische Lösung eine schwache Lösung ist. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Testfunktionen auf dem Rand null sind. Aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung folgt, dass die klassische Lösung obiger Poisson-Gleichung eindeutig ist, falls sie existiert.

Wählt man ${\displaystyle C^{\infty }(0,1)}$ statt ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(0,1)}$ kann die schwache Lösung der Poisson-Gleichung mit inhomogener Dirichlet-Randbedingung formuliert werden.

→ Hauptartikel: Schwache Ableitung

→ Hauptartikel: Distribution (Mathematik)

Distributionen sind stetige lineare Funktionale auf ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ für ein Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, wobei sich die Stetigkeit auf eine bestimmte Topologie bezieht.