Benutzer:Roderich Kahn/Strahlungsenergiedichte

In der Radiometrie ist die Strahlungsenergiedichte die Energie der elektromagnetischen Wellen (Strahlungsenergie) in einem Raumbereich geteilt durch das Volumen des Raumbereichs zu einem vorgegebenen Zeitpunkt. Die SI-Einheit der Strahlungsenergiedichte ist das Joule pro Kubikmeter (J/m³).

Die physikalische Größe Strahlungsenergiedichte ${\displaystyle u}$ in dem gegebenen Raumbereich und zum gegebenen Zeitpunkt wird definiert^[1]

${\displaystyle u={\frac {U}{V}}}$.

Dabei symbolisieren

${\displaystyle U}$ die Strahlungsenergie im Raumbereich und

${\displaystyle V}$ das Volumen des Raumbereichs.

Die Strahlungsenergiedichte ist eine skalare und volumenbezogene intensive Größe. Sie hängt in der Regel vom Ort ${\displaystyle (x,y,z)}$ ab. Ist das der Fall, ist es zweckmäßig, den Ort in sein Formelzeichen als abhängige Variable aufzunehmen, ${\displaystyle u=u(x,y,z)}$. Die Strahlungsenergie ${\displaystyle U=U(x,y,z)}$ im Raumelement ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ ist dann ${\displaystyle U(x,y,z)=u(x,y,z)\;\mathrm {d} V}$

und entsprechend die Strahlungsenergie im Raumbereich das Integral der Strahlungsenergiedichte über das Volumen des Raumbereichs

${\displaystyle U=\iiint _{V}u(x,y,z)\;\mathrm {d} V}$.

Wer mit der Infinitesimalrechnung weniger vertraut ist, sollte sich das Volumenelement (Raumelement, Differential) ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ als das Volumen ${\displaystyle \mathrm {\Delta } V}$ eines kleinen, aber endlichen Raumbereichs vorstellen, in dem die physikalische Größe (hier die Strahlungsenergiedichte) nur so wenig variiert, dass sie näherungsweise als konstant betrachtet werden kann. Eine Näherung des Integrals erhält man, indem man zuerst den gegebenen Raumbereich in viele solcher kleinen Volumina unterteilt, und zwar so, dass sie den vorgegebenen Raumbereich vollständig und lückenlos ausfüllen. Dann bildet man alle Produkte von der physikalischen Größe im Volumenelement und dem Volumenelement. Diese Vorgehensweise besitzt auch in der Praxis eine große Bedeutung, insbesondere in der numerischen Physik (Computational Physics).

Um die Strahlungsleistungsdichte zu definieren, gehen wir von der Strahlungsleistung aus. Die Strahlungsleistung ist definiert als Quotient aus der Strahlungsenergie in einem Raumbereich und die Länge des Zeitintervalls, in dem wir die Strahlungsenergie in diesem Raumbereich messen:

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\Delta \ t}}}$.

Dabei symbolisieren

${\displaystyle \Phi }$ die Strahlungsleistung (auch Strahlungsfluss),

${\displaystyle U}$ die Strahlungsenergie im Raumbereich und

${\displaystyle \Delta \ t=(t_{e}-t_{a})}$ die Länge des Zeitintervalls mit dem Anfangszeitpunkt ${\displaystyle t_{a}}$ und dem Endzeitpunkt ${\displaystyle t_{e}}$.

Die Strahlungsleistung ist eine skalare, eine extensive Größe und als zeitbezogene Energie eine Energierate.

Ist die Strahlungsenergie innerhalb des Zeitintervalls nicht konstant, wird die Strahlungsleistung als Differtialquotient

${\displaystyle \Phi ={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}}$

definiert. Mit ${\displaystyle \mathrm {d} U=\Phi \cdot \mathrm {d} t}$ und

${\displaystyle U=\int _{t}{\Phi \cdot \mathrm {d} t}}$

ist diejenige ${\displaystyle U}$ die Energie, um die sich die

(${\displaystyle Q}$ ist die Strahlungsenergie), die pro Zeitspanne ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ von elektromagnetischen Wellen transportiert wird:

${\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}}$

Ihre Einheit ist W (Watt).

Mit der Strahlungsleistung definieren wir nun die Strahlungsleistungsdichte als

${\displaystyle \varphi ={\frac {U}{V\cdot \Delta t}}}$.

Dabei symbolisieren

${\displaystyle U}$ die Strahlungsenergie im Raumbereich und

${\displaystyle V}$ das Volumen des Raumbereichs und

${\displaystyle \Delta \ t=(t_{e}-t_{a})}$ die Länge des Zeitintervalls mit dem Anfangszeitpunkt ${\displaystyle t_{a}}$ und dem Endzeitpunkt ${\displaystyle t_{e}}$.

Differentiell

${\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}}$.

Es symbolisieren

${\displaystyle \varphi }$ die Strahlungsleistungsdichte,

${\displaystyle u}$ die Strahlungsenergiedichte und

${\displaystyle t}$ den Zeitpunkt der Betrachtung der Strahlungsleistungsdichte.

Die Strahlungsleistungsdichte ist eine skalare und volumenbezogene intensive Größe.

Ist Strahlungsenergiedichte in dem Raumbereich nicht konstant, sondern ändert sich mit der Zeit ${\displaystyle t}$, müssen wir auch die Zeit als unabhängige Variable in die Formel für die Strahlungsenergiedichte aufnehmen, ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$.

Aus der Sicht der Elektrodynamik ist die Strahlungsenergiedichte ${\displaystyle u}$ die Energiedichte elektromagnetischer Wellen, die mit den elektrodynamischen Feldgrößen als

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\ ({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {H}}\cdot {\vec {B}})}$

geschrieben werden kann.^[2] Es bedeuten

Symbol	Einheit	Name
${\displaystyle u}$	J m-3	Strahlungsenergiedichte
${\displaystyle {\vec {E}}}$	V/m	elektrische Feldstärke
${\displaystyle {\vec {D}}}$	C/m2	elektrische Flussdichte
${\displaystyle {\vec {H}}}$	A/m	magnetische Feldstärke
${\displaystyle {\vec {B}}}$	T	magnetische Flussdichte

Im Vakuum gelten die Beziehungen ${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}\cdot {\vec {E}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\cdot {\vec {H}}}$ mit der elektrischen Feldkonstanten ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ und der magnetischen Feldkonstanten ${\displaystyle \mu _{0}}$. Im Vakuum sind die Vektoren der elektrischen Feldstärke und elektrische Flussdichte einerseits und die Vektoren der magnetischen Feldstärke und magnetischen Flussdichte andererseits gleichgerichtet, so dass dort die Strahlungsenergiedichte ${\displaystyle u}$ über die Beträge der Feldstärken ${\displaystyle E}$ bzw. ${\displaystyle H}$

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\ (\varepsilon _{0}\ E^{2}+\mu _{0}\ H^{2})}$

ausgedrückt werden können. Mit der Annahme, dass die Strahlungsenergie auf das magnetische und elektrische Feld gleich verteilt ist,

${\displaystyle u=\varepsilon _{0}\ E^{2}=\mu _{0}\ H^{2}}$

können wir aus einer bekannten Strahlungsenergiedichte die mittleren Feldstärken ${\displaystyle E}$ bzw. ${\displaystyle H}$ nach den Formeln

${\displaystyle E={\sqrt {\frac {u}{\varepsilon _{0}}}}\;}$ bzw. ${\displaystyle H={\sqrt {\frac {u}{\mu _{0}}}}}$

berechnen. Beispiele ist weiter unten zu finden. Dass sich für die magnetische bzw. elektrische Feldstärke die richtigen Einheiten ergeben, erkennt man aus den Einheitengleichungen

${\displaystyle [E]={\sqrt {\frac {[u]}{[\varepsilon _{0}]}}}={\sqrt {\frac {\mathrm {J\ V\ m} }{\mathrm {m^{3}\ A\ s} }}}={\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}}$ bzw. ${\displaystyle [H]={\sqrt {\frac {[u]}{[\mu _{0}]}}}={\sqrt {\frac {\mathrm {J\ m\ A^{2}} }{\mathrm {m^{3}\ N} }}}={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {m} }}}$.

Im Jahr 1873 fand Maxwell^[3] den Zusammenhang zwischen der Strahlungsenergiedichte ${\displaystyle u}$ und dem Druck ${\displaystyle p}$ im elektromagnetischen Feld

${\displaystyle p={\frac {u}{3}}}$,

der auch Strahlungsdruck heißt.

Beispiele für mittlere Feldstärken und Strahlungsdruck der Wärmestrahlung sind weiter unten zu finden.

Die spektrale Strahlungsenergiedichte ist definiert als die Strahlungsenergie in einem Raumbereich innerhalb eines Frequenzintervalls, geteilt durch das Volumen des Raumbereich und die Länge des Frequenzintervalls.

Das Plancksches Strahlungsgesetz beschreibt die Frequenz- und Temperaturabhängigkeit der spektralen Strahlungsenergiedichte der Hohlraumstrahlung im thermodynamischen Gleichgewicht

${\displaystyle u_{f}(f,T)=\,{\frac {8\pi f^{2}}{c^{3}}}{\frac {hf}{e^{hf/(kT)}-1}}}$.

Es bedeuten:

Symbol	Einheit	Name	Typ
${\displaystyle u_{f}(f,T)}$	J s m-3	spektrale Strahlungsenergiedichte	Variable
${\displaystyle f}$	s-1	Frequenz	Variable
${\displaystyle T}$	K	Temperatur	Variable
${\displaystyle \pi }$	1	Kreiszahl	Mathematische Konstante
${\displaystyle c}$	m s-1	Lichtgeschwindigkeit	Naturkonstante
${\displaystyle h}$	J s	Plancksches Wirkungsquantum	Naturkonstante
${\displaystyle k}$	J K	Boltzmann-Konstante	Naturkonstante

Die Strahlungsenergiedichte ist an allen Orten innerhalb des Hohlraums gleich, sie ist homogen, und hängt nicht von Strahlungsrichtungen ab, sie ist isotrop.

Die Integration der spektralen Strahlungsenergiedichte über aller Frequenzen ergibt die Strahlungsenergiedichte ${\displaystyle u}$ und es ist

${\displaystyle u=\int _{0}^{\infty }u_{f}(f,T)\ \mathrm {d} f={\frac {8\pi h}{c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {f^{3}}{e^{hf/(kT)}-1}}\ \mathrm {d} f={\frac {8\pi h}{c^{3}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\ \mathrm {d} x}$.

Dabei haben wir die Integrationsvariable ${\displaystyle x=hf/(kT)}$ eingeführt. Mit dem speziellen uneigentlichen Integral^[4]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\ \mathrm {d} x={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

ergibt sich somit für Strahlungsenergiedichte im Innern des Hohlraum eines schwarzen Körpers im thermodynamischen Gleichgewicht

${\displaystyle u={\frac {8\pi ^{5}hc}{15}}\left({\frac {kT}{hc}}\right)^{4}={\frac {4\ \sigma }{c}}\ T^{4}}$,

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle \sigma =2\ \pi ^{5}k^{4}/(15\ h^{3}c^{2})}$.

Die nachfolgende Tabelle enthält Zahlenwerte und Einheiten der Strahlungsenergiedichte für ausgewählte Temperaturen

(Druck in Tabelle aufnehmen)

T (K)	u (J/m3)	u (eV/cm3)
100	7.56591E-08	4.72227E+05
273.15	4.21178E-06	2.62879E+07
300	6.12839E-06	3.82504E+07
500	4.72870E-05	2.95142E+08
1000	7.56591E-04	4.72227E+09
3000	6.12839E-02	3.82504E+11
6000	9.80542E-01	6.12006E+12
10000	7.56591E+00	4.72227E+13

Die Ausstrahlung pro Fläche ${\displaystyle m}$ durch eine kleine Öffnung von solch einem Hohlraum hat Max Planck^[5] abgeleitet

${\displaystyle m={\frac {c}{4}}u}$.

Somit ergibt sich die Relation

${\displaystyle m={\frac {c}{4}}\;{\frac {4\ \sigma }{c}}\ T^{4}=\sigma \ T^{4}}$.

(Innenfläche behandeln)

Das ist das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das die thermisch abgestrahlte Leistung eines idealen Schwarzen Körpers in Abhängigkeit von seiner Temperatur angibt.

Lax formuliert: Wir vollziehen jetzt eine Kehrtwendung um 180 Grad. Zunächst haben wir am Rand der kleinen Öffnung des Hohlraums gestanden, in den Hohlraum geschaut und nach der Strahlungsenergiedichte im Innenraum gefragt. Jetzt stopfen wir das Loch wieder zu, malen auch die Außenfläche der Umhüllung des Hohlraums schwarz an, sorgen für eine Temperatur ${\displaystyle T}$ auf der Außenfläche der Hülle und wenden den Kopf um 180 Grad und schauen in den Außenraum. Unser schwarzer Körper wird zur Strahlungsquelle.

Überschrift
Formel	Symbol	Einheit	Name
Formel	${\displaystyle u}$	J s m-3	spektrale Strahlungsenergiedichte
Formel	${\displaystyle c}$	m s-1	Lichtgeschwindigkeit
Formel	${\displaystyle f}$	s-1	Frequenz
Formel	${\displaystyle h}$	J s	Wirkungsquantum
Formel	${\displaystyle k}$	J K	Boltzmann-Konstante
Formel	${\displaystyle T}$	K	Temperatur

Weil Strahlung immer Energie überträgt, ist es nützlich sich zu fragen, wie schnell die Übertragung ist. Wenn sich die gesamte Strahlung an einem bestimmten Ort in die gleiche Richtung ausbreitet, ist der Strahlungsfluss durch eine Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, geteilt durch den Inhalt der Fläche, durch die Strahldichte gegeben

${\displaystyle E_{\mathrm {e} }=c\ u,}$

wobei ${\displaystyle c}$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Strahlung ist.

Ist die Strahlungsintensität in allen Richtungen gleich ist, zum Beispiel in einem Hohlraum im thermodynamischen Gleichgewicht, dann wird die Energieübertragung am besten durch die Strahldichte beschrieben^[6]

${\displaystyle L_{\mathrm {e} }={\frac {c}{4\pi }}u.}$

1. ↑ Horst Stöcker (Herausgeber): Taschenbuch der Physik: Formeln ,Tabellen, Übersichten. 6., korr. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2010, ISBN 978-3-8171-1861-8, S. 734 (XXIV, 1079). 
2. ↑ Horst Stöcker (Herausgeber): ebenda, S. 369
3. ↑ J.C Maxwell: A Treatise on electricity and magnetism, Vol. 2, § 792. Macmillan & Co., London 1873, S. 391 (englisch): “Hence in a Medium in which waves are propagated there is a pressure in the direction normal to the wave, and numerically equal to the energy in unit of volume” 
4. ↑ Lew D. Landau, Jewgenij M. Lifschitz: Statistische Physik. 2. berichtigte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1970, S. 182 (527 S.). 
5. ↑ Max Planck. The Theory of Heat Radiation. Equation 7. 1914.
6. ↑ Max Planck. The Theory of Heat Radiation. Equation 21. 1914.

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