Benutzer:Ploetzlich/Vehring'sche Zahl

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Die vehringsche Zahl ${\displaystyle veh}$ ist eine mathematische Konstante, die von Herrn Professor Dr. Vehring (Hochschule Bremen) zu Übungszwecken für seine Studenten entwickelt wurde. Die Zahl ${\displaystyle veh}$ ergibt sich aus der Lösung für folgende Fragestellung:

Eine Ziege wird auf einer kreisförmigen Wiese am Rand angepflockt. Wie lang muss die Kette sein, damit die Ziege genau die Hälfte der Kreisfläche abweiden kannn?

Nach oben stehender Fragestellung und nebenstehender Zeichnung ergibt sich:

${\displaystyle y1(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle y2(x)={\sqrt {r^{2}-(x-R^{2})}}}$

Schnittstelle: ${\displaystyle x=R-{\frac {r^{2}}{2R}}}$

Nullstelle: ${\displaystyle x=R-r}$

Stammfunktionen:

${\displaystyle Y1(x)={\frac {\sin ^{-1}(x\cdot |{\frac {1}{R}}|)\cdot R^{2})}{2}}+{\frac {x\cdot {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{2}}+C}$

${\displaystyle Y2(x)={\frac {\sin ^{-1}((x-R)\cdot |{\frac {1}{r}}|)\cdot r^{2})}{2}}+{\frac {(x-R)\cdot {\sqrt {-x^{2}+2Rx+r^{2}-R^{2}}}}{2}}+C}$

Bestimmte Integrale:

${\displaystyle \int _{0}^{R-{\frac {r^{2}}{2R}}}y1(x)\,\mathrm {d} x={\frac {R^{2}\cdot \sin ^{-1}\cdot ({\frac {2R^{2}-r^{2}}{2R^{2}}})}{2}}+{\frac {(2R^{2}-r^{2})\cdot {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}{8r}}=A_{1}(r,R)}$

${\displaystyle \int _{R-r}^{R-{\frac {r^{2}}{2R}}}y2(x)\,\mathrm {d} x={\frac {-r^{3}\cdot {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}{8R^{2}}}-{\frac {r^{2}\cdot \sin ^{-1}{\frac {r}{2R}}}{2}}+{\frac {r^{2}\cdot \pi }{4}}=A_{2}(r,R)}$

Definiere wie folgt:

${\displaystyle x=r,y=Rundf(x,y)=A_{1}(r,R),g(x,y)=A_{2}(r,R)}$

Lösung

${\displaystyle g(x,1)=f(x,1),x)\Rrightarrow x=1,12600818435...}$

Da sich die Verhältnisse durch zentrische Streckung auf alle Kreise übertragen lassen, gilt, dass das Verhältnis der beiden Radien konstant ist.

${\displaystyle {\frac {r}{R}}=1,12600818435...=veh}$