Die Trägheitskraft ergibt sich aus dem Produkt der beschleunigten Masse
und der Beschleunigung
im Inertialsystem
.
![{\displaystyle F_{T}=-m\,a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f206830043f9c4fe9b4012673a00309e6ff46bf)
Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Bewegungsgleichung
im Inertialsystem
![{\displaystyle a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\,s(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997b685a754f7efafdd7a1d0dcf32f288c9eadd1)
Die Bewegungsgleichung einer rotierenden Masse kann sehr einfach zweidimensional in der komplexen Ebene durch einen rotierenden Einheitsvektor
dargestellt werden. Die zweite Ableitung ist dadurch ebenfalls einfach, auch durch ein Computeralgebra-Programm, zu berechnen.
Im einfachsten Fall ruht der Körper im rotierenden Bezugssystem
im Abstand
von der Rotationsachse:
![{\displaystyle s=r'\,e^{i\omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dcd95a76713e0c783046b229f967a1539fd07cf)
Die zweite Ableitung ist die bekannte Zentrifugal-Beschleunigung der rotierenden Masse:
![{\displaystyle a=-\omega ^{2}\,r'\,e^{i\,\omega \,t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90586023611316c9d762aed3a6771ef0f512e70)
Mit einer zusätzlichen Bewegung
mit der konstanten Geschwindigkeit
und dem Winkel
im rotierenden Bezugssystem
ergibt sich die Coriolis-Beschleunigung zusätzlich zur Zentrifugal-Beschleunigung
![{\displaystyle s=(r'+v'\,t\,e^{i\varphi })e^{i\omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb1e695d128b0081cc9aea4bbaf9bead8551fec)
![{\displaystyle a=-\omega ^{2}\,(r'+v'\,t\,e^{i\varphi })\,e^{i\,\omega \,t}+2\,\omega \,v'\,e^{i\,(\omega \,t+\varphi +\pi /2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1b68271bb63a157a5730fdddfb3c7b9b66b283)
![{\displaystyle a=-\omega ^{2}\,r'\,e^{i\,\omega \,t}+\omega ^{2}\,v'\,t\,e^{i\,\omega \,t+\varphi }+2\,\omega \,v'\,e^{i\,(\omega \,t+\varphi +\pi /2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a32f92139b20d5583fc6c3baab47b64af1d795)
Der 1. Term ist die Zentrifugal-Beschleunigung. Der 3. Term
ist die Coriolis-Beschleunigung, die im rechten Winkel
zu der Geschwindigkeit
steht. Der 2. Term
ergibt sich aus der Änderung der Zentrifugal-Beschleunigung durch die Änderung des radialen Abstands der Masse durch die Bewegung
im rotierenden Bezugssystem und wird bei den üblichen Darstellungen vernachlässigt. Ohne diesen Term gilt die Lösung jedoch nur für den Zeitpunkt
.
Durch eine zusätzliche stetige Änderung der Winkelgeschwindigkeit
ergeben sich zusätzliche Terme für die Euler-Beschleunigung
![{\displaystyle s=\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\left(\omega +dw\,t\right)\,t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6abf54df0cbf0d74ae13b284dce4e9082c0e495)
![{\displaystyle a=-\left(\omega +{2\,dw\,t}\,\right)^{2}\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\left({\omega +dw\,t}\right)\,t}\,+\,2\left(\omega +2\,dw\,t\right)\,v\,e^{i\,\left((\omega +dw\,t\right)\,t+\varphi +\pi /2)}\,+\,2\,dw\,\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\left((\omega +dw\,t\right)\,t+\pi /2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62afe34813d217c690b0d3f4865fea764f086ff)
Hier treten weitere Terme auf, die durch die Kombination von Coriolis- und Euler-Beschleunigung entstehen und üblicherweise nicht berücksichtigt werden. Durch Vernachlässigung der Terme
und
gilt die bekannte Formel nur für den Zeitpunkt
.
Durch die hier gezeigte Berechnung kann man die Trägheitskräfte für fast beliebige Bewegungen im rotierenden BS vollständig berechnen.
Für eine beliebige Änderung der Winkelgeschwindigkeit
muss die vollständige Ableitung des Phasenwinkels
berücksichtigt werden:
![{\displaystyle s=\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\phi (t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0a43f496916ec0c21c8d35f3254b427dc73d97)
![{\displaystyle a=-\left({\frac {d}{d\,t}}\,{\it {\phi }}\left(t\right)\right)^{2}\,\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,{\it {\phi }}\left(t\right)}+2\,\left({\frac {d}{d\,t}}\,{\it {\phi }}\left(t\right)\right)\,v\,e^{i\,({\it {\phi }}\left(t\right)+\varphi +\pi /2)}+\left({\frac {d^{2}}{d\,t^{2}}}\,{\it {\phi }}\left(t\right)\right)\,\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,({\it {\phi }}\left(t\right)+\pi /2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ffb71c65e4bd836e960cc5490bc62a69155392)
Die drei Terme sind von links nach rechts die Zentrufugalbeschleunigung, die Coriolisbeschleunigung und die Eulerbeschleunigung.
Bei allen Ergebnissen wurde
für einen Phasenwinkel von 90° substituiert um reelle Beträge zu erhalten.
Der Vergleich mit dw-Version zeigt, dass man nicht einfach
durch omega ersetzen darf, wenn omega variabel ist.
Wenn der Körper sich relativ zu dem rotierenden Bezugssystem auf einer Kreisbahn mit der Winkelgeschwindigkeit
und dem Radius
bewegt, wird das Ergebnis besonders einfach wenn die Rotationsachse mit der Achse des Bezugssystems zusammenfällt:
![{\displaystyle s=\left(r'\,e^{i\,{\omega _{2}'\,t}}\right)\,e^{i\,{\omega '\,t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09dea3d364b8df9df03f28db3c0fd351b8066ea7)
![{\displaystyle a=-\left({\omega '+\omega _{2}'}\right)^{2}\,r'\,e^{i\,(\omega '+\omega _{2}')\,t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4a43b4f3e58308ebc212e26453ec3060b224ea)
Bei einer beliebigen Lage der Achse im rotierenden Bezugssystem an der Position
:
![{\displaystyle s=\left(r'+r_{2}'\,e^{i\,{\omega _{2}'\,t}}\right)\,e^{i\,{\omega '\,t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9586b630891de46d3b4c49e50b78de294c4aa877)
![{\displaystyle a=-\,{\omega '}\,^{2}\,e^{i\,{\omega '}\,t}\,\left({r'}+r_{2}'\,e^{i\,{\omega _{2}'}\,t}\right)-\left({\omega '}+{\omega _{2}'}\right)\,\omega _{2}'\,r_{2}'\,e^{i\,(\omega '+\omega _{2}')\,t}-{\omega '}\,{\omega _{2}'}\,r_{2}'\,e^{i\,(\omega '+\omega _{2}')\,t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e77c62c0b1ee85e314eec3a833026f750b9112)