Benutzer:Pewa/Trägheitskraft

Die Trägheitskraft ergibt sich aus dem Produkt der beschleunigten Masse ${\displaystyle m}$ und der Beschleunigung ${\displaystyle a}$ im Inertialsystem ${\displaystyle S}$.

${\displaystyle F_{T}=-m\,a}$

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Bewegungsgleichung ${\displaystyle s(t)}$ im Inertialsystem

${\displaystyle a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\,s(t)}$

Die Bewegungsgleichung einer rotierenden Masse kann sehr einfach zweidimensional in der komplexen Ebene durch einen rotierenden Einheitsvektor ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ dargestellt werden. Die zweite Ableitung ist dadurch ebenfalls einfach, auch durch ein Computeralgebra-Programm, zu berechnen.

Im einfachsten Fall ruht der Körper im rotierenden Bezugssystem ${\displaystyle S'}$ im Abstand ${\displaystyle r'}$ von der Rotationsachse:

${\displaystyle s=r'\,e^{i\omega t}}$

Die zweite Ableitung ist die bekannte Zentrifugal-Beschleunigung der rotierenden Masse:

${\displaystyle a=-\omega ^{2}\,r'\,e^{i\,\omega \,t}}$

Mit einer zusätzlichen Bewegung ${\displaystyle v'\,t\,e^{i\varphi }}$ mit der konstanten Geschwindigkeit ${\displaystyle v'}$ und dem Winkel ${\displaystyle \varphi }$ im rotierenden Bezugssystem ${\displaystyle S'}$ ergibt sich die Coriolis-Beschleunigung zusätzlich zur Zentrifugal-Beschleunigung

${\displaystyle s=(r'+v'\,t\,e^{i\varphi })e^{i\omega t}}$

${\displaystyle a=-\omega ^{2}\,(r'+v'\,t\,e^{i\varphi })\,e^{i\,\omega \,t}+2\,\omega \,v'\,e^{i\,(\omega \,t+\varphi +\pi /2)}}$

${\displaystyle a=-\omega ^{2}\,r'\,e^{i\,\omega \,t}+\omega ^{2}\,v'\,t\,e^{i\,\omega \,t+\varphi }+2\,\omega \,v'\,e^{i\,(\omega \,t+\varphi +\pi /2)}}$

Der 1. Term ist die Zentrifugal-Beschleunigung. Der 3. Term ${\displaystyle 2\,\omega \,v'\,e^{i\,\omega \,t+\varphi +\pi /2}}$ ist die Coriolis-Beschleunigung, die im rechten Winkel ${\displaystyle \pi /2}$ zu der Geschwindigkeit ${\displaystyle v'}$ steht. Der 2. Term ${\displaystyle \omega ^{2}\,v'\,t\,e^{i\,\omega \,t+\varphi }}$ ergibt sich aus der Änderung der Zentrifugal-Beschleunigung durch die Änderung des radialen Abstands der Masse durch die Bewegung ${\displaystyle v'\,t\,e^{i\varphi }}$ im rotierenden Bezugssystem und wird bei den üblichen Darstellungen vernachlässigt. Ohne diesen Term gilt die Lösung jedoch nur für den Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$.

Durch eine zusätzliche stetige Änderung der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle dw={\frac {d\omega }{dt}}}$ ergeben sich zusätzliche Terme für die Euler-Beschleunigung

${\displaystyle s=\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\left(\omega +dw\,t\right)\,t}}$

${\displaystyle a=-\left(\omega +{2\,dw\,t}\,\right)^{2}\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\left({\omega +dw\,t}\right)\,t}\,+\,2\left(\omega +2\,dw\,t\right)\,v\,e^{i\,\left((\omega +dw\,t\right)\,t+\varphi +\pi /2)}\,+\,2\,dw\,\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\left((\omega +dw\,t\right)\,t+\pi /2)}}$

Hier treten weitere Terme auf, die durch die Kombination von Coriolis- und Euler-Beschleunigung entstehen und üblicherweise nicht berücksichtigt werden. Durch Vernachlässigung der Terme ${\displaystyle {2\,dw\,t}}$ und ${\displaystyle {v\,t\,e^{i\,\varphi }}}$ gilt die bekannte Formel nur für den Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$. Durch die hier gezeigte Berechnung kann man die Trägheitskräfte für fast beliebige Bewegungen im rotierenden BS vollständig berechnen.

Für eine beliebige Änderung der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega (t)}$ muss die vollständige Ableitung des Phasenwinkels ${\displaystyle \phi (t)=\omega (t)*t}$ berücksichtigt werden:

${\displaystyle s=\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,\phi (t)}}$

${\displaystyle a=-\left({\frac {d}{d\,t}}\,{\it {\phi }}\left(t\right)\right)^{2}\,\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,{\it {\phi }}\left(t\right)}+2\,\left({\frac {d}{d\,t}}\,{\it {\phi }}\left(t\right)\right)\,v\,e^{i\,({\it {\phi }}\left(t\right)+\varphi +\pi /2)}+\left({\frac {d^{2}}{d\,t^{2}}}\,{\it {\phi }}\left(t\right)\right)\,\left(r+v\,t\,e^{i\,\varphi }\right)\,e^{i\,({\it {\phi }}\left(t\right)+\pi /2)}}$

Die drei Terme sind von links nach rechts die Zentrufugalbeschleunigung, die Coriolisbeschleunigung und die Eulerbeschleunigung.

Bei allen Ergebnissen wurde ${\displaystyle i=e^{i\pi /2}}$ für einen Phasenwinkel von 90° substituiert um reelle Beträge zu erhalten.

Der Vergleich mit dw-Version zeigt, dass man nicht einfach ${\displaystyle {\frac {d}{d\,t}}\,{\it {\phi }}\left(t\right)}$ durch omega ersetzen darf, wenn omega variabel ist.

Wenn der Körper sich relativ zu dem rotierenden Bezugssystem auf einer Kreisbahn mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega _{2}}$ und dem Radius ${\displaystyle r}$ bewegt, wird das Ergebnis besonders einfach wenn die Rotationsachse mit der Achse des Bezugssystems zusammenfällt:

${\displaystyle s=\left(r'\,e^{i\,{\omega _{2}'\,t}}\right)\,e^{i\,{\omega '\,t}}}$

${\displaystyle a=-\left({\omega '+\omega _{2}'}\right)^{2}\,r'\,e^{i\,(\omega '+\omega _{2}')\,t}}$

Bei einer beliebigen Lage der Achse im rotierenden Bezugssystem an der Position ${\displaystyle r'}$:

${\displaystyle s=\left(r'+r_{2}'\,e^{i\,{\omega _{2}'\,t}}\right)\,e^{i\,{\omega '\,t}}}$

${\displaystyle a=-\,{\omega '}\,^{2}\,e^{i\,{\omega '}\,t}\,\left({r'}+r_{2}'\,e^{i\,{\omega _{2}'}\,t}\right)-\left({\omega '}+{\omega _{2}'}\right)\,\omega _{2}'\,r_{2}'\,e^{i\,(\omega '+\omega _{2}')\,t}-{\omega '}\,{\omega _{2}'}\,r_{2}'\,e^{i\,(\omega '+\omega _{2}')\,t}}$