Benutzer:PatrickC/Weißes Rauschen

Änderung: In den Artikel Weißes Rauschen kommt nur unter Rauschen in verschiedenen Fachgebieten der Hinweis:

• White Noise Analysis: In der White Noise Analysis bezeichnet weißes Rauschen anschaulich gesprochen die Ableitung eines Pfades der Brownschen Bewegung.

unten stehende Erläuterungen kann ich vielleicht in den Artikel White Noise Analysis unter Herkunft des Namens abhandeln.

In der White Noise Analysis wird die Brownsche Bewegung durch die duale Paarung

${\displaystyle B(\omega ,t)=\langle 1_{[0,t)},\omega \rangle ,}$

definiert, wobei ${\displaystyle 1_{[0,t)}}$ die charakteristische Funktion des angegebenen Intervalls ist und ${\displaystyle \omega }$ ein weißes Rauschen (also eine temperierte Distribution). Indem man den Raum der temperierten Distributionen mit dem White Noise Maß ausstattet, wird er ein Wahrscheinlichkeitsraum, und man kann die Brownsche Bewegung als stochastischen Prozess auffassen.

Zwar ergibt sich die Schwierigkeit, dass ${\displaystyle 1_{[0,t)}}$ keine Schwartz-Funktion und damit die duale Paarung nicht wohldefiniert ist, doch es kann gezeigt werden, dass man die duale Paarung, die zunächst auf ${\displaystyle S(\mathbb {R} )\times S(\mathbb {R} )^{\prime }}$ definiert ist, auf den Definitionsbereich ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\times S(\mathbb {R} )^{\prime }}$ erweitern kann.

In der Sprache der Distributionentheorie lässt sich weißes Rauschen durch temperierte Distributionen darstellen. Somit kann man es anschaulich als Ableitung einer Brownschen Bewegung interpretieren. Der Zusammenhang besteht darin, dass die Ableitung einer Bewegung Angaben über Stärke und Richtung der Bewegungsänderung enthält. Da bei der mathematisch idealisierten Brownschen Bewegung in jedem beliebig kleinen Zeitintervall Bewegungsänderungen in alle Richtungen auftreten, hat das Ähnlichkeiten zum Frequenzspektrum des weißen Rauschens in der Akustik, wo alle Frequenzen gleich stark auftreten.

Die Aussage, dass weißes Rauschen die Ableitung einer Brownschen Bewegung ist, ist natürlich informal, denn der Pfad einer Brownschen Bewegung ist nicht differenzierbar, da er fast sicher eine fraktale Struktur besitzt. Die Bezeichnung wird jedoch durch die Notation nahe gelegt und ist auch richtig für den (unwahrscheinlichen) Spezialfall, dass das Rauschen ${\displaystyle \omega }$ eine reguläre Distribution ist. Dann gilt nämlich

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}B(\omega ,t)={\frac {d}{dt}}\langle 1_{[0,t)},\omega \rangle ={\frac {d}{dt}}\int _{0}^{t}\omega (s)ds=\omega (t).}$