Benutzer:Nuerk/Absolutbeträge auf Körpern

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper. Ein Absolutbetrag auf ${\displaystyle K}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle \left|.\right|\colon \,K\to [0,\infty )}$ in die positiven reellen Zahlen, welche die folgenden Eigenschaften erfüllt:

${\displaystyle \left|x\right|=0\iff x=0}$	(Definitheit)
${\displaystyle \left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|}$	(Multiplikativität)
${\displaystyle \left|x+y\right|\leq \left|x\right|+\left|y\right|}$	(Dreiecksungleichung)

Hierdurch wird die reelle bzw. komplexe Betragsfunktion auf beliebige Körper verallgemeinert.

Aus der Definition folgt unmittelbar

${\displaystyle \left|1\right|=\left|-1\right|=\left|\zeta \right|=1}$	${\displaystyle \zeta \in K}$ Einheitswurzel, d.h. ${\displaystyle \zeta ^{n}=1}$ für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$
${\displaystyle \left|x\right|=\left|-x\right|}$	${\displaystyle \forall x\in K,}$
${\displaystyle \left|x^{-1}\right|=\left|x\right|^{-1}}$	${\displaystyle \forall x\in K,}$
${\displaystyle \left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\leq \left|x-y\right|}$	${\displaystyle \forall x,y\in K,}$
${\displaystyle \left|n\right|=\left|\sum _{i=1}^{n}1\right|\leq n}$	${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} .}$

• Auf jedem Körper lässt sich der triviale Betrag

${\displaystyle \left|x\right|:={\begin{cases}1&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

definieren. Dieser wird im Folgenden ausgeschlossen.

• Auf dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen definiert man für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ den sogenannten ${\displaystyle p}$-adischen Betrag. Dazu stellt man ${\displaystyle 0\neq x\in \mathbb {Q} }$ dar als ${\displaystyle x=p^{k}{\frac {a}{b}}}$ mit ${\displaystyle k,a\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle \operatorname {ggT} (p,ab)=\operatorname {ggT} (a,b)=1}$. Diese Darstellung ist eindeutig, und durch

${\displaystyle \left|x\right|_{p}=\left|p^{k}{\frac {a}{b}}\right|_{p}:=p^{-k}}$

wird ein Absolutbetrag definiert.^[1]

• Ist ${\displaystyle A}$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierendem Element ${\displaystyle \pi }$, d.h. für das maximale Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ von ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\pi A}$, so lässt sich jedes Element ${\displaystyle x\in \operatorname {Quot} (A)^{\times }}$ eindeutig schreiben als ${\displaystyle x=\varepsilon \pi ^{k}}$ mit ${\displaystyle \varepsilon \in A^{\times }}$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. Durch

${\displaystyle \left|x\right|:={\begin{cases}e^{-k}&x\in \operatorname {Quot} (A)^{\times }\\0&x=0\end{cases}}}$

wird nun ein (von der Wahl des Uniformisierenden unabhängiger) Betrag auf dem Quotientenkörper ${\displaystyle \operatorname {Quot} (A)}$ definiert.^[2]

Ein Betrag ${\displaystyle \left|.\right|}$ auf einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt diskret, falls das Bild ${\displaystyle \left|K^{\times }\right|\subset \mathbb {R} ^{\times }}$ der Einheitengruppe eine diskrete Untergruppe der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times },\cdot )}$ ist.

Ein Betrag ${\displaystyle \left|.\right|}$ auf einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt archimedisch, falls die Menge ${\displaystyle \left|\mathbb {N} \right|}$ beschränkt ist, sonst nicht-archimedisch. Dabei ist ein Betrag ${\displaystyle \left|.\right|}$ genau dann nicht-archimedisch, wenn er für alle ${\displaystyle x,y\in K}$ die verschärfte Dreiecksungleichung

${\displaystyle \left|x+y\right|\leq \operatorname {max} (\left|x\right|,\left|y\right|)}$

erfüllt.^[3] In diesem Fall gilt

${\displaystyle \left|x\right|\neq \left|y\right|\Rightarrow \left|x+y\right|=\operatorname {max} (\left|x\right|,\left|y\right|)}$.^[4]

Im Falle eines nicht-archimedischen Betrages definiert

${\displaystyle A:=\{x\in K:\left|x\right|\leq 1\}}$

einen Ring, den sogenannten Bewertungsring des Körpers ${\displaystyle K}$ zum Betrag ${\displaystyle \left|.\right|}$. Da für jedes ${\displaystyle x\in K}$

${\displaystyle \left|x\right|\leq 1}$ oder ${\displaystyle \left|x^{-1}\right|\leq 1}$

gilt, ist insbesondere ${\displaystyle K=\operatorname {Quot} (A)}$. Dieser Ring ist lokal, d.h. er enthält genau ein maximales Ideal, nämlich

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{x\in K:\left|x\right|<1\}}$.^[5]

Der Bewertungsring ist ein Hauptidealring, also ein diskreter Bewertungsring, genau dann, wenn der Betrag diskret ist.^[6]

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper. Die nicht-archimedischen Absolutbeträge stehen in einer ${\displaystyle 1:1}$-Korrespondenz zu den Bewertungen von ${\displaystyle K}$:^[7]

Gegeben ein nicht-archimedischer Absolutbetrag ${\displaystyle \left|.\right|}$, so ist die Abbildung

${\displaystyle v\colon \,K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \},\;x\mapsto {\begin{cases}-\operatorname {ln} (\left|x\right|)&x\neq 0\\\infty &x=0\end{cases}}}$

eine Bewertung, d.h. sie erfüllt

${\displaystyle v(x)=\infty \iff x=0}$

${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$

${\displaystyle v(x+y)\geq \operatorname {min} (v(x),v(y))}$.

Ist umgekehrt ${\displaystyle v}$ eine Bewertung, so wird durch

${\displaystyle \left|x\right|:={\begin{cases}e^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

ein nicht-archimedischer Betrag definiert.

Ist ${\displaystyle \left|.\right|}$ ein Betrag auf einem Körper ${\displaystyle K}$, so wird durch

${\displaystyle d(x,y):=\left|x-y\right|\quad \forall x,y\in K}$

eine Metrik, insbesondere also eine Topologie, auf ${\displaystyle K}$ definiert.

Zwei Beträge ${\displaystyle \left|.\right|_{1}}$ und ${\displaystyle \left|.\right|_{2}}$ auf ${\displaystyle K}$ heißen äquivalent, in Zeichen ${\displaystyle \left|.\right|_{1}\sim \left|.\right|_{2}}$, falls sie dieselbe Topologie erzeugen.

Man kann zeigen,^[8] dass zwei Beträge genau dann äquivalent sind, wenn ein ${\displaystyle s>0}$ existiert, sodass für alle ${\displaystyle x\in K}$ gilt

${\displaystyle \left|x\right|_{2}=\left|x\right|_{1}^{s}}$.

Sind ${\displaystyle \left|.\right|_{1},...,\left|.\right|_{n}}$ paarweise inäquivalente Absolutbeträge auf einem Körper ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in K}$ vorgegebene Elemente, dann existiert zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle x\in K}$ mit ${\displaystyle \left|x-a_{i}\right|_{i}<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle i=1,...,n}$.^[9]

Nach einem Satz von Ostrowski ist jeder Betrag auf ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ äquivalent entweder zum üblichen reellen Betrag, oder zum ${\displaystyle p}$-adischen Betrag für eine Primzahl ${\displaystyle p}$.^[10]

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper mit diskretem Absolutbetrag ${\displaystyle \left|.\right|}$ und ${\displaystyle A}$ der Bewertungsring mit maximalem Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Dann ist jedes Ideal des Bewertungsrings ${\displaystyle A}$ von der Form ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$ für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.^[11] Die absteigende Kette

${\displaystyle A\supseteq {\mathfrak {m}}\supseteq {\mathfrak {m}}^{2}\supseteq {\mathfrak {m}}^{3}\supseteq ...}$

der Ideale von ${\displaystyle A}$ bildet eine Umgebungsbasis des Nullelements. Denn ist ${\displaystyle \pi \in A}$ ein Uniformisierendes, also insbesondere ${\displaystyle \left|\pi \right|<1}$, so gilt

${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}=\{x\in K:\left|x\right|<\left|\pi \right|^{n-1}\}}$.^[12]

Entsprechend ist die Kette

${\displaystyle A^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq U^{(3)}\supseteq ...}$

der Untergruppen

${\displaystyle U^{(n)}:=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\{x\in K^{\times }:\left|1-x\right|<\left|\pi \right|^{n-1}\}}$

eine Umgebungsbasis des Einselementes von ${\displaystyle K^{\times }}$. ${\displaystyle U^{(n)}}$ heißt die ${\displaystyle n}$-te Einseinheitengruppe und ${\displaystyle U^{(1)}=1+{\mathfrak {m}}}$ die Einseinheitengruppe schlechthin.

Für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ gelten folgende Isomorphien:^[13][14]

${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong A/{\mathfrak {m}}}$,

${\displaystyle U^{(n)}/U^{(n+1)}\cong A/{\mathfrak {m}}}$,

${\displaystyle A^{\times }/U^{(n)}\cong (A/{\mathfrak {m}}^{n})^{\times }}$.

Sei ${\displaystyle K}$ ein bewerteter Körper. ${\displaystyle K}$ heißt vollständig, falls ${\displaystyle K}$ mit der induzierten Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, d.h. falls jede Cauchy-Folge in ${\displaystyle K}$ konvergiert.

Sei ${\displaystyle K}$ vollständig bezüglich eines diskreten Betrags. Sei ${\displaystyle A}$ der Bewertungsring, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ das maximale Ideal und ${\displaystyle \lambda _{n}\colon \,A/{\mathfrak {m}}^{n+1}\to A/{\mathfrak {m}}^{n}}$ die kanonische Projektion für ${\displaystyle n\geq 1}$. Versieht man die Ringe ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}^{n}}$ mit der diskreten Topologie und ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }A/{\mathfrak {m}}^{n}}$ mit der Produkttopologie, so wird der projektive Limes

${\displaystyle \varprojlim _{n}A/{\mathfrak {m}}^{n}=\{(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \prod _{n=1}^{\infty }A/{\mathfrak {m}}^{n}:\lambda _{n}(x_{n+1})=x_{n}\}}$

als abgeschlossene Teilmenge des Produktes in kanonischer Weise zu einem topologischen Ring.^[15] Die kanonischen Abbildungen

${\displaystyle A\to \varprojlim _{n}A/{\mathfrak {m}}^{n}}$

und

${\displaystyle A^{\times }\to \varprojlim _{n}A^{\times }/U^{(n)}}$

sind sowohl Isomorphismen als auch Homöomorphismen.^[16]

Darüber hinaus gilt in einem vollständigen Körper das henselsche Lemma:^[17]

Sei ${\displaystyle K}$ vollständig bezüglich eines nicht-archimedischen Betrages ${\displaystyle \left|.\right|}$, ${\displaystyle A=\{x\in K:\left|x\right|\leq 1\}}$ der Bewertungsring, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{x\in K:\left|x\right|<1\}}$ das maximale Ideal und ${\displaystyle f\in A[x]}$ ein Polynom mit ${\displaystyle 0\not \equiv f{\bmod {\,}}{\mathfrak {m}}}$. Besitzt dann die Reduktion

${\displaystyle {\bar {f}}\in A/{\mathfrak {m}}[x]}$

eine Zerlegung

${\displaystyle {\bar {f}}={\tilde {g}}{\tilde {h}}}$

in teilerfremde Polynome ${\displaystyle {\tilde {g}},{\tilde {h}}\in A/{\mathfrak {m}}[x]}$, so existieren ${\displaystyle g,h\in A[x]}$ mit

${\displaystyle f=gh}$,

${\displaystyle {\bar {g}}={\tilde {g}}}$,

${\displaystyle {\bar {h}}={\tilde {h}}}$,

${\displaystyle \operatorname {deg} (g)=\operatorname {deg} ({\tilde {g}})}$.

Ist ${\displaystyle K}$ vollständig bezüglich eines nicht-archimedischen Betrages ${\displaystyle \left|.\right|}$ und ${\displaystyle L/K}$ eine separable algebraische Körpererweiterung, so existiert genau ein Betrag ${\displaystyle \left|\left|.\right|\right|}$ auf ${\displaystyle L}$, der auf den Betrag ${\displaystyle \left|.\right|}$ von ${\displaystyle K}$ einschränkt, d.h. ${\displaystyle \left|\left|x\right|\right|=\left|x\right|}$ für alle ${\displaystyle x\in K}$ erfüllt.^[18]

Ist die Körpererweiterung endlich, ${\displaystyle [L:K]=n<\infty }$, so ist diese Fortsetzung für alle ${\displaystyle \alpha \in L}$ gegeben durch

${\displaystyle \left|\left|\alpha \right|\right|=\left|N_{L/K}(\alpha )\right|^{\frac {1}{n}}}$,

wobei ${\displaystyle N_{L/K}}$ die Körpernorm bezeichnet. Bezüglich diesem Betrag ist ${\displaystyle L}$ wieder vollständig.^[19]

Man kann jeden Körper ${\displaystyle K}$ mit Betrag ${\displaystyle \left|.\right|_{K}}$ dicht in einen vollständigen Körper ${\displaystyle {\widehat {K}}}$ einbetten.^[20] Sei dazu ${\displaystyle C}$ der Ring der Cauchy-Folgen in ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle N}$ das Ideal der Nullfolgen in ${\displaystyle K}$. Dann ist ${\displaystyle {\widehat {K}}:=C/N}$ ein Körper und durch ${\displaystyle \left|(x_{j})_{j\in \mathbb {N} }+N\right|_{\widehat {K}}:=lim_{j\to \infty }\left|x_{j}\right|_{K}}$ wird ein Betrag auf ${\displaystyle {\widehat {K}}}$ definiert, bezüglich dem dieser vollständig ist. Der Körper ${\displaystyle K}$ kann vermöge der isometrischen Einbettung ${\displaystyle x\mapsto (x)_{n\in \mathbb {N} }+N}$ als Unterkörper von ${\displaystyle {\widehat {K}}}$ aufgefasst werden.

Ist ${\displaystyle K}$ bereits vollständig, so ist diese Einbettung ein Isomorphismus.^[21]

Diese Vervollständigung stimmt mit der metrischen Vervollständigung überein, insbesondere ist sie eindeutig bis auf Isometrie.

• Ist ${\displaystyle A\subseteq K}$, bzw. ${\displaystyle {\widehat {A}}\subseteq {\widehat {K}}}$, der Bewertungsring bezüglich ${\displaystyle \left|.\right|}$, bzw. ${\displaystyle {\widehat {\left|.\right|}}}$, und ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, bzw. ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {m}}}}$, das maximale Ideal, so gilt

${\displaystyle {\widehat {A}}/{\widehat {\mathfrak {m}}}\cong A/{\mathfrak {m}}}$.^[22]

• Ist ${\displaystyle \left|.\right|}$ diskret, so gilt darüber hinaus für alle ${\displaystyle n\geq 1}$, dass

${\displaystyle {\widehat {A}}/{\widehat {\mathfrak {m}}}^{n}\cong A/{\mathfrak {m}}^{n}}$.^[23]

• Ist ${\displaystyle \left|.\right|}$ diskret, ${\displaystyle R\subseteq A}$ ein Repräsentantensystem für ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ mit ${\displaystyle 0\in R}$ und ist ${\displaystyle \pi \in A}$ ein uniformisierendes Element, so besitzt jedes ${\displaystyle 0\neq x\in {\widehat {K}}}$ eine eindeutige Darstellung als konvergente Reihe

${\displaystyle x=\pi ^{m}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\pi ^{i}}$

mit ${\displaystyle a_{i}\in R}$, ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$.^[24]

• Ist ${\displaystyle K}$ bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig, so existieren nach einem weiteren Satz von Ostrowski^[25] ein Isomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon \,K\to \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und ein ${\displaystyle s\in (0,1]}$, sodass

${\displaystyle \left|x\right|=\left|\varphi (x)\right|^{s}\quad \forall x\in K}$.

• Die Vervollständigung der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bezüglich des ${\displaystyle p}$-adischen Betrages ist der überabzählbare Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen,^[26]

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\left\{\sum _{j=k}^{\infty }a_{j}p^{j}:k\in \mathbb {Z} ,a_{j}\in \{0,1,...,p-1\}\right\}}$.

Zu beachten ist hierbei, dass die Folge der Partialsummen ${\displaystyle \left(\sum _{j=k}^{n}a_{j}p^{j}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ bezüglich des ${\displaystyle p}$-adischen Betrages eine Cauchy-Folge ist.^[27]

• Als lokalen Körper bezeichnet man einen Körper, der bezüglich eines diskreten Betrages vollständig ist und einen endlichen Restklassenkörper hat. Lokale Körper sind als topologische Räume lokalkompakt.^[28]

Endliche Körpererweiterungen von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x)}$ heißen globale Körper.

Man kann zeigen, dass die lokalen Körper genau die endlichen Erweiterung der Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ und der Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((x))}$ der formalen Laurent-Reihen über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ sind.^[29]

• Cassels, J.W.S., Fröhlich, A.: Algebraic Number Theory. Thompson, Washington, D.C. 1967
• Goldstein, Larry Joel: Analytic Number Theory. Prentice-Hall Inc., New Jersey 1971
• Lang, Serge: Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1986, ISBN 3-540-96375-8
• Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992, Nachdruck 2007, ISBN 3-540-37547-3
• Ribenboim, Paulo: The Theory of Classical Valuations. Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg 1999, ISBN 0-387-98525-5

1. ↑ Neukirch 2007, (II.2) S. 112.
2. ↑ Neukirch 2007, (II.3) S. 126.
3. ↑ Neukirch 2007, (II.3.6) S. 123.
4. ↑ Neukirch 2007, (II.3) S. 124.
5. ↑ Neukirch 2007, (II.3.8) S. 126.
6. ↑ Neukirch 2007, (II.3.9) S. 127.
7. ↑ Neukirch 2007, (II.3) S. 125 f.
8. ↑ Neukirch 2007, (II.3.3) S. 121 f.
9. ↑ Neukirch 2007, (II.3.4) S. 122.
10. ↑ Neukirch 2007, (II.3.7) S. 124.
11. ↑ Neukirch 2007, (II.3.9) S. 127.
12. ↑ Neukirch 2007, (II.3) S. 127.
13. ↑ Neukirch 2007, (II.3.9) S. 127.
14. ↑ Neukirch 2007, (II.3.10) S. 128.
15. ↑ Neukirch 2007, (II.4) S. 133.
16. ↑ Neukirch 2007, (II.4.5) S. 133.
17. ↑ Neukirch 2007, (II.4.6) S. 135.
18. ↑ Neukirch 2007, (II.4.8) S. 137.
19. ↑ Neukirch 2007, (II.4.8) S. 137.
20. ↑ Neukirch 2007, (II.4) S. 129.
21. ↑ Neukirch 2007, (II.4) S. 129.
22. ↑ Neukirch 2007, (II.4.3) S. 131 f.
23. ↑ Neukirch 2007, (II.4.3) S. 131 f.
24. ↑ Neukirch 2007, (II.4.4) S. 132.
25. ↑ Neukirch 2007, (II.4.2) S. 130.
26. ↑ Neukirch 2007, (II.2) S. 116 ff.
27. ↑ Neukirch 2007, (II.2) S. 114 f.
28. ↑ Neukirch 2007, (II.5.1) S. 140.
29. ↑ Neukirch 2007, (II.5.2) S. 141.