In der klassischen Physik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert. Da in der speziellen Relativitätstheorie gegeneinander bewegte Inertialsysteme durch Lorentztransformationen miteinander zusammenhängen, werden zwei Geschwindigkeiten anders zur Gesamtgeschwindigkeit zusammengesetzt:
Ein Beobachter
bewege sich gegenüber dem Beobachter
mit der Geschwindigkeit
in Richtung der
-Achse. Für den Beobachter
bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit
Dann hat dieser Körper für den Beobachter
die Geschwindigkeit
mit Komponenten
![{\displaystyle u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}\,,\quad u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}\,,\quad u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48f86032ec16796b2e01a49f2d6726834e39feb)
Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit, so unterscheiden sich sowohl der Nenner als auch der Term unter der Wurzel kaum von 1, und es ergibt sich in guter Näherung die übliche nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition. Beispielsweise ist die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter gemessene Geschwindigkeit einer Person, die durch einen Zug mit 200 km/h in Bewegungsrichtung des Zuges mit 5 km/h relativ zum Zug läuft, gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen 205 km/h. Zum Vergleich: Der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0.1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp 2 Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde – was bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km sicher vernachlässigbar ist.
Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel.
Um das Formelbild einfach zu halten, verwenden wir als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurückgelegt und nennen sie eine Sekunde. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt
Untersuchungen in anderen Maßsystemen bringen keine tieferen Einsichten.
Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von
durch -
)
![{\displaystyle t={\frac {t'+v\,x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad x={\frac {x'+v\,t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad y=y'\ ,\quad z=z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c55306e07dfab537e480266b02fdca8e77fa9a3)
folgt, da die Transformation linear ist, für die Differentiale
![{\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\sqrt {1-v^{2}}}}\ ,\quad \mathrm {d} y=\mathrm {d} y'\ ,\quad \mathrm {d} z=\mathrm {d} z'\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb28cd442a68b51eb84101d685165a23c43e358b)
Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter
ermittelt,
![{\displaystyle u_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x'+v\,\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}+v}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{x}'+v}{1+v\,u_{x}'}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cb3627f2fbfb0e84874f9887aa49779b453752)
![{\displaystyle u_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} y'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3def5e84f17f75be4fff80001d6c461b09bb693a)
![{\displaystyle u_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} z'{\sqrt {1-v^{2}}}}{\mathrm {d} t'+v\,\mathrm {d} x'}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t'}}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,{\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t'}}}}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+v\,u_{x}'}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab628bdc40521aee4517942d6d03db25b7a2dfbf)
Umgekehrt gilt (Ersetzen von
durch -
, mit allen Faktoren
)
![{\displaystyle u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}}\ ,\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}}\ ,\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8d3b0397a04cc5224f88868e399401663248f5)
Als Folge dieses Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.
Es sei
![{\displaystyle v=0.9c,\quad u_{x}'=0.9c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653af32173a9a6291a907df7979e8ebc82c29243)
Dann ist
![{\displaystyle u_{x}={\frac {0.9c+0.9c}{1+0.9\cdot 0.9}}\approx 0.99c<c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533c83c120568acf335bab09299b2f5a3ae18f82)
und nicht etwa 1.8c.
Ist die Geschwindigkeit
für den Beobachter
gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter
Ist zum Beispiel
![{\displaystyle u_{x}'=0,\quad u_{y}'=c,\quad u_{z}'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3ea1278b65d9ba69a5f312f2029da23d4cf6bb)
dann ist
![{\displaystyle u_{x}=v,\quad u_{y}=c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},\quad u_{z}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3222795eb654f5cba10621949d897087f1911ce6)
also insbesondere
![{\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}=v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605c0a71e32fef18946c06d74ef3897dad040f9a)