Benutzer:Norbert Dragon/Compton Effekt

Wir betrachten ein freies Elektron, das anfänglich ruht. Ist das Elektron in einem Atom gebunden, vermindert sich die Energie des gestreuten Elektrons um die Bindungsenergie.

Die Energie E und der Impuls \mathbf{p} eines Teilchens der Masse m hängen in der relativistischen Physik durch

   E^2=m^2\,c^4+\mathbf{p}^2\,c^2

zusammen. Wir rechnen einfachheitshalber mit c=1. Die Rechnung in Maßsystemen mit c\ne 1 bringt keine zusätzliche Einsicht.

Das Photon ist masselos, seine Energie E ist so groß wie der Betrag des Impulses \mathbf{p}. Bezeichnen wir die Richtung des anfänglichen Photonimpulses mit \mathbf{n},\ \mathbf{n}^2=1, dann sind zusammengefasst die Energie und Impuls des Photons vor der Streuung

   \begin{pmatrix}E \\ E\, \mathbf{n} \end{pmatrix}\,.

Das Elektron hat vor dem Stoß die Energie m und einen verschwindenden Impuls, zusammengefasst

   \begin{pmatrix}m \\ 0 \end{pmatrix}\,. 

Nach der Streuung hat das Photon eine geänderte Energie E^\prime und eine um den Streuwinkel Φ geänderte Impulsrichtung \mathbf{n}^\prime\ ,\ \mathbf{n}^{\prime\,2}=1\,,

   \cos\phi=\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}^\prime.

Zusammengefasst sind Energie und Impuls des Photons nach der Streuung

   \begin{pmatrix}E^\prime \\ E^\prime\, \mathbf{n}^\prime\end{pmatrix}\,.

Prozessskizze des Compton-Effekts Prozessskizze des Compton-Effekts

Da die Energie und der Impuls erhalten sind, sind die Summen der Energien und Impulse vor und nach dem Stoß gleich

   \begin{pmatrix}E \\ E\, \mathbf{n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}m \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E^\prime \\ E^\prime\, \mathbf{n}^\prime \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}E + m - E^\prime \\ E\,\mathbf{n} - E^\prime\,\mathbf{n}^\prime \end{pmatrix}\,.

Dabei enthält die letzte Spalte die Energie und den Impuls des Elektrons nach dem Stoß.

Da bei relativistischen Teilchen das Quadrat der Energie mit dem Quadrat der Masse plus dem Quadrat des Impulses übereinstimmt, muss gelten

   (E + m - E^\prime)^2 = m^2 + (E\,\mathbf{n} - E^\prime\,\mathbf{n}^\prime)^2

Ausmultipliziert heben sich alle Quadrate weg, von den gemischten Termen verbleibt

   2m(E-E^\prime)=2 E E^\prime(1-\cos\phi)\,.

Durch 2 E E^\prime geteilt, folgt, wenn wir noch die Faktoren c angeben,

   \frac{m\,c^2}{E^\prime}-\frac{m\,c^2}{E} = (1-\cos\phi)\,.

Verwendet man hier, dass die Photonenergie mit der Frequenz ν und der Wellenlänge λ durch E=h\,\nu = h \frac{c}{\lambda} zusammenhängt, folgt der Compton-Effekt

   \lambda^\prime - \lambda=\frac{h}{m\,c}\,(1-\cos\phi)\,.

Die Wellenlängenverschiebung hängt nicht von der Wellenlänge ab.

Stößt ein bewegtes Elektron auf ein Photon, so kann der inverse Compton-Effekt auftreten, bei dem sich die Energie des Photons vergrößert.

Die Energie des in Richtung \mathbf{e} bewegten Elektron hängt durch \sqrt{m^2 + p^2} mit seinem Impuls \mathbf p= p\, \mathbf{e} zusammen.

Bewegt sich das Photon vor dem Stoß mit Energie E in Richtung \mathbf{n} und nach dem Stoß mit Energie E^\prime in Richtung \mathbf{n}^\prime, so lautet die Energie- und Impulsbilanz

   \begin{pmatrix}E \\ E\, \mathbf{n} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\sqrt{m^2+p^2} \\ p\,\mathbf{e} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}E^\prime \\ E^\prime \,\mathbf{n}^\prime \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}E+\sqrt{m^2+p^2} - E^\prime \\ E\,\mathbf{n}+p\,\mathbf{e} - E^\prime\,\mathbf{n}^\prime\end{pmatrix}\,.

Dabei enthält die letzte Spalte die Energie und den Impuls des Elektrons nach dem Stoß.

Da bei relativistischen Teilchen das Quadrat der Energie mit dem Quadrat der Masse plus dem Quadrat des Impulses übereinstimmt, muss gelten

   (E + \sqrt{m^2+p^2} - E^\prime)^2= m^2 + (E\,\mathbf{n} +p\,\mathbf{e} - E^\prime\,\mathbf{n}^\prime)^2\,.

Beim Ausmultiplizieren heben sich alle quadratischen Terme weg, es verbleiben nur die gemischten Terme, die nach E^\prime aufgelöst werden können.

Bezeichnen wir mit \phi den Streuwinkel des Photons, mit \Omega den Winkel zwischen der anfänglichen Bewegungsrichtung des Photons und der anfänglichen Bewegungsrichtung des Elektrons und mit \Omega^\prime den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung des gestreuten Photon und der anfänglichen Bewegungsrichtung des Elektrons,

   \cos\phi = \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}^\prime\ \quad \cos\Omega = \mathbf{n}\cdot\mathbf{e}\ ,\quad\cos\Omega^\prime = \mathbf{n}^\prime\cdot\mathbf{e}\,,

so lautet das Ergebnis, wenn wir noch die Faktoren c eintragen, die wir einfachheitshalber Eins gesetzt hatten,

   E^\prime= E\frac{\sqrt{m^2\,c^2+p^2}- p \cos\Omega}{\sqrt{m^2\,c^2+p^2}+ \frac{E}{c}(1-\cos\phi)-p\cos\Omega^\prime}\,.

Bei anfänglich ruhendem Elektron, p=0, reduziert sich diese Formel auf den gewöhnlichen Compton-Effekt.

Im Schwerpunktsystem ist p=E/c und \mathbf{e}=-\mathbf{n} und es ergibt sich E^\prime=E. Im Schwerpunktsystem gibt es keinen Compton-Effekt.