Benutzer:Niabot/Splines

Für die Herleitung der Umrechnung werden zunächst die Parameter und deren Bezeichnung durch die Defintion der Kurven selbst definiert. Dabei sei ${\displaystyle h(t)}$ die kubisch hermitesche Kurve und ${\displaystyle b(t)}$ die kubische Bézierkurve.

${\displaystyle {\begin{aligned}h(t)\ &=\ (2k_{0}-2k_{1}+m_{0}+m_{1})t^{3}+(-3k_{0}+3k_{1}-2m_{0}-m_{1})t^{2}+m_{0}*t+k_{0}\\&=\ T\,M_{h}\,C_{h}\\&=\ {\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&-2&1&1\\-3&3&-2&-1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}k_{0}\\k_{1}\\m_{0}\\m_{1}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b(t)\ &=\ (-p_{0}+3p_{1}-3p_{2}+p_{3})t^{3}+(3p_{0}-6p_{1}+3p_{2})t^{2}+(-3p_{0}+3p_{1})t+p_{0}\\&=\ T\,M_{b}\,C_{b}\\&=\ {\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Da beide Kurven ineinander überführt werden sollen, muss deren Verlauf gleich sein, wodurch ${\displaystyle h(t)=b(t)}$ angenommen wird. Entsprechend ist

${\displaystyle M_{h}\,C_{h}\ =\ M_{b}\,C_{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{h}\ &=\ M_{h}^{-1}\,M_{b}\,C_{b}\\&=\ M_{b\rightarrow h}\,C_{b}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{b}\ &=\ M_{b}^{-1}\,M_{h}\,C_{h}\\&=\ M_{h\rightarrow b}\,C_{h}\end{aligned}}}$

Durch Multiplikation mit der jeweils inversen Matrix lassen sich also die Parameter beider Kurven ineinander überführen. Diese Matrizen sind:

${\displaystyle M_{b\rightarrow h}\ =\ {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\-3&3&0&0\\0&0&-3&3\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle M_{h\rightarrow b}\ =\ {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&0&{\frac {1}{3}}&0\\0&1&0&-{\frac {1}{3}}\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}$

Entsprechend ergeben sich zwischen der kubischen hermiteschen Kurve und der Bézierkurve folgende Zusammenhänge:

${\displaystyle k_{0}\ =\ p_{0}}$

${\displaystyle k_{1}\ =\ p_{3}}$

${\displaystyle m_{0}\ =\ 3(p_{1}-p_{0})}$

${\displaystyle m_{1}\ =\ 3(p_{3}-p_{2})}$