Benutzer:Momotaro/Werkstatt/Geschichte des Grenzwertbegriffs

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Der griechische Philosoph Zenon von Elea, der im 5. Jahrhundert v. Chr. lebte, hat verschiedene Paradoxa (siehe Zenonische Paradoxien) formuliert, die Grenzwertprozesse behandeln. Das berühmteste Beispiel ist die Geschichte von Achilles und der Schildkröte, welche die Schwierigkeiten illustriert, Prozesse mit unendlich vielen Schritten zu verstehen.

Leukipp, Demokrit, Antiphon, Eudoxos von Knidos und Archimedes entwickelten die Exhaustionsmethode, die eine unendliche Folge von Approximationen verwendet, um eine Fläche oder ein Volumen zu bestimmen. Archimedes konnte erfolgreich eine geometrische Reihe, wie sie heute genannt wird, summieren.

Isaac Newton hat sich in mehreren Arbeiten mit Grenzwerten von Reihen befasst, so in Analysis with infinite series (geschrieben 1669, als Manuskript in Umlauf, publiziert 1711), Method of fluxions and infinite series (geschrieben 1671, published

in English translation in 1736, Latin original published much later) and Tractatus de Quadratura Curvarum (written in 1693, published in 1704 as an Appendix to his Optiks). In the latter work, Newton considers the binomial expansion of (x+o)ⁿ which he then linearizes by taking limits (letting o→0).

In the 18th century, mathematicians like Euler succeeded in summing some divergent series by stopping at the right moment; they did not much care whether a limit existed, as long as it could be calculated. At the end of the century, Lagrange in his Théorie des fonctions analytiques (1797) opined that the lack of rigour precluded further development in calculus. Gauss in his etude of hypergeometric series (1813) for the first time rigorously investigated under which conditions a series converged to a limit.

The modern definition of a limit (for any ε there exists an index N so that ...) was given independently by Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, little noticed at the time) and by Cauchy in his Cours d'analyse (1821).