Benutzer:Momotaro/Werkstatt/Étale Fundamentalgruppe

Die algebraische oder étale Fundamentalgruppe wird in der Mathematik, genauer der algebraischen Geometrie untersucht. Sie ist eine Struktur, die für Schemata definiert wird und in Analogie zur Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes stehen soll.

In der algebraischen Topologie ist die Fundamentalgruppe

${\displaystyle \pi _{1}(T)}$

eines zusammenhängenden topologischen Raumes als Gruppe von Schleifen definiert, die an einem Punkt angeheftet sind, modulo Homotopie. Der Versuch, diese Konstruktion auf algebraische Varietäten oder Schemata zu übertragen, führt zu Problemen.

Dieselbe Definition zu verwenden ist zwar möglich, aber unter anderem in positiver Charakteristik unbefriedigend; die Topologie eines Schemas enthält zuwenig Informationen über seine Struktur. Naheliegend wäre, als „Schleife“ einfach eine algebraische Kurve zu verwenden, allerdings wäre im wichtigsten Fall, das heißt über den komplexen Zahlen, eine solche Schleife reell zwei- statt eindimensional.

In der algebraischen Geometrie ist eine andere Charakterisierung der Fundamentalgruppe besser geeignet: Die Fundamentalgruppe ist genau die Gruppe der Decktransformationen der universellen Überlagerung des Raums. Dies ist vielversprechend: Die endlichen étalen Morphismen sind eine geeignete Verallgemeinerung von Überlagerungen. Erschwerend wird sich aber aus, dass eine universelle Überlagerung oft eine unendliche Überlagerung des Raumes ist, was im algebraischen Kontext nicht gut handhabbar ist. Endliche Überlagerungen hingegen lassen sich verwenden, weshalb die algebraische Fundamentalgruppe als inverser Limes von endlichen Gruppen definiert ist.

This discussion follows Milne^[1].

Let ${\displaystyle X}$ be a scheme, let ${\displaystyle x}$ be a geometric point of ${\displaystyle X,}$ and let ${\displaystyle C}$ be the category of pairs ${\displaystyle (Y,f)}$ such that ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ is a finite étale morphism ("finite étale schemes over ${\displaystyle X}$"). Morphisms ${\displaystyle (Y,f)\to (Y',f')}$ in this category are morphisms ${\displaystyle Y\to Y'}$ as schemes over ${\displaystyle X.}$ This category has a natural functor given ${\displaystyle x}$, namely the functor

${\displaystyle F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);}$

geometrically this is the fiber of ${\displaystyle Y\to X}$ over ${\displaystyle x,}$ and abstractly it is the covariant Yoneda functor "co-represented" by ${\displaystyle x.}$ The quotation marks are because ${\displaystyle x\to X}$ is not in fact a finite étale morphism, so that ${\displaystyle F}$ is not actually representable (in general). However, it is pro-representable, in fact by "Galois covers" of ${\displaystyle X;}$ this means that we have a projective system ${\displaystyle \{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}}$ indexed by a directed set ${\displaystyle I,}$ where the ${\displaystyle X_{i}}$ are of course finite étale schemes over ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X),}$ and

${\displaystyle F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)}$

(the subscript ${\displaystyle C}$ is to emphasize that this Hom-set is in the category ${\displaystyle C}$).

Note that for two such ${\displaystyle X_{i},X_{j}}$ the map ${\displaystyle X_{j}\to X_{i}}$ induces a group homomorphism

${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}$

which produces a projective system of automorphism groups from the projective system ${\displaystyle \{X_{i}\}}$. We then make the following definition: the étale fundamental group ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ of ${\displaystyle X}$ at ${\displaystyle x}$ is the inverse limit

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}).}$

The general comparison machinery called GAGA gives the connection in the case of a compact Riemann surface, or more general complex non-singular complete variety V. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π₁(V).

1. ↑ James Milne, Lectures on Étale Cohomology (online course notes)

• étale morphism
• Topological space
• Fundamental group
• Classification of covering spaces
• Fundamental group scheme

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