Benutzer:Momotaro/Werkstatt/Étale Fundamentalgruppe
Die algebraische oder étale Fundamentalgruppe wird in der Mathematik, genauer der algebraischen Geometrie untersucht. Sie ist eine Struktur, die für Schemata definiert wird und in Analogie zur Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes stehen soll.
Idee der Konstruktion
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Fundamental_group_torus1.png/220px-Fundamental_group_torus1.png)
In der algebraischen Topologie ist die Fundamentalgruppe
eines zusammenhängenden topologischen Raumes als Gruppe von Schleifen definiert, die an einem Punkt angeheftet sind, modulo Homotopie. Der Versuch, diese Konstruktion auf algebraische Varietäten oder Schemata zu übertragen, führt zu Problemen.
Dieselbe Definition zu verwenden ist zwar möglich, aber unter anderem in positiver Charakteristik unbefriedigend; die Topologie eines Schemas enthält zuwenig Informationen über seine Struktur. Naheliegend wäre, als „Schleife“ einfach eine algebraische Kurve zu verwenden, allerdings wäre im wichtigsten Fall, das heißt über den komplexen Zahlen, eine solche Schleife reell zwei- statt eindimensional.
In der algebraischen Geometrie ist eine andere Charakterisierung der Fundamentalgruppe besser geeignet: Die Fundamentalgruppe ist genau die Gruppe der Decktransformationen der universellen Überlagerung des Raums. Dies ist vielversprechend: Die endlichen étalen Morphismen sind eine geeignete Verallgemeinerung von Überlagerungen. Erschwerend wird sich aber aus, dass eine universelle Überlagerung oft eine unendliche Überlagerung des Raumes ist, was im algebraischen Kontext nicht gut handhabbar ist. Endliche Überlagerungen hingegen lassen sich verwenden, weshalb die algebraische Fundamentalgruppe als inverser Limes von endlichen Gruppen definiert ist.
Covering spaces
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]This discussion follows Milne[1].
Let be a scheme, let be a geometric point of and let be the category of pairs such that is a finite étale morphism ("finite étale schemes over "). Morphisms in this category are morphisms as schemes over This category has a natural functor given , namely the functor
geometrically this is the fiber of over and abstractly it is the covariant Yoneda functor "co-represented" by The quotation marks are because is not in fact a finite étale morphism, so that is not actually representable (in general). However, it is pro-representable, in fact by "Galois covers" of this means that we have a projective system indexed by a directed set where the are of course finite étale schemes over
- and
- (the subscript is to emphasize that this Hom-set is in the category ).
Note that for two such the map induces a group homomorphism
which produces a projective system of automorphism groups from the projective system . We then make the following definition: the étale fundamental group of at is the inverse limit
GAGA results
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]The general comparison machinery called GAGA gives the connection in the case of a compact Riemann surface, or more general complex non-singular complete variety V. The algebraic fundamental group, as it is typically called in this case, is the profinite completion of π1(V).
Notes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ James Milne, Lectures on Étale Cohomology (online course notes)
See also
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- étale morphism
- Topological space
- Fundamental group
- Classification of covering spaces
- Fundamental group scheme