Benutzer:Modalanalytiker/Komplexe Scheinleistung

Die komplexe Scheinleistung (Symbol ${\displaystyle {\underline {S}}}$, Einheit VA^[1]) ist für Zweipole mit sinusförmiger^[2] Spannung und Stromstärke definiert. Sie fasst die reellwertigen Leistungskennwerte Wirkleistung, Verschiebungsblindleistung und Scheinleistung in einer komplexwertigen Größe zusammen.

Die Scheinleistung ${\displaystyle S}$, die Wirkleistung ${\displaystyle P}$ und die Verschiebungsblindleistung ${\displaystyle Q}$ eines Zweipols lassen sich aus den Effektivwerten von Spannung und Stromstärke ${\displaystyle U}$ bzw. ${\displaystyle I}$ und dem Phasenverschiebungswinkel ${\displaystyle \varphi }$ mit

${\displaystyle S=UI}$,

${\displaystyle P=S\cos \varphi }$

und

${\displaystyle Q=S\sin \varphi }$

berechnen. Wenn die Betriebsgrößen des Zweipols ${\displaystyle U,\,I}$ und ${\displaystyle \varphi }$ beispielsweise aus einer Messung bekannt sind, wäre die weitere Zusammenfassung der Leistungskennwerte in einer komplexwertigen Größe überflüssig.

Die Definition einer komplexen Scheinleistung ${\displaystyle {\underline {S}}}$ erweist sich dagegen als praktisch, wenn für den untersuchten Zweipol die Ergebnisse einer komplexen Wechselstromrechnung vorliegen. Dann sind die Effektivwertzeiger von Stromstärke und Spannung

${\displaystyle {\underline {U}}=U\mathrm {e} ^{\,\mathrm {j} \varphi _{u}}}$

bzw.

${\displaystyle {\underline {I}}=I\mathrm {e} ^{\,\mathrm {j} \varphi _{i}}}$

bekannt. Das Produkt aus komplexwertiger Spannung und und konjugiert komplexer Stromstärke ${\displaystyle {\underline {U}}{\underline {I}}^{*}}$ bietet sich als passendes Konstrukt an, weil sein Betrag gleich der (reellen) Scheinleistung ${\displaystyle UI}$ und sein Argument gleich dem Phasenverschiebungswinkel ${\displaystyle \varphi =\varphi _{u}-\varphi _{i}}$ ist.

Die so motivierte Definition der komplexen Scheinleistung (kurz: komplexe Leistung)

${\displaystyle {\underline {S}}=UI\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }=UI(\cos \varphi +\mathrm {j} \sin \varphi )=P+\mathrm {j} Q}$

erlaubt die interessierenden reellen Kenngrößen des vorigen Abschnitts

${\displaystyle P=\operatorname {Re} {\underline {S}}}$

${\displaystyle Q=\operatorname {Im} {\underline {S}}}$

${\displaystyle S=|{\underline {S}}|}$ und

${\displaystyle \varphi =\arg {\underline {S}}}$

durch Bildung des Real- und Imaginärteils, des Betrags und des Arguments von ${\displaystyle {\underline {S}}}$ unmittelbar aus dem Resultat der Zeigerrechnung zu gewinnen.

${\displaystyle {\underline {U}}=U_{w}{\frac {\underline {I}}{I}}+U_{b}{\frac {{\text{j}}{\underline {I}}}{I}}}$	(1)	Orthogonale Zerlegung von ${\displaystyle {\underline {U}}}$ nach ${\displaystyle {\underline {I}}}$
${\displaystyle U{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=U_{w}+{\text{j}}U_{b}}$	(2)	Gl. (1) mit ${\displaystyle {\frac {I}{\underline {I}}}}$ multipliziert und ${\displaystyle {\frac {I}{\underline {I}}}{\underline {U}}=U{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }}$ gesetzt
${\displaystyle U\cos \varphi +{\text{j}}U\sin \varphi =U_{w}+{\text{j}}U_{b}}$	(3)	Eulersche Formel auf Linksterm von Gl. (2) angewendet
${\displaystyle U_{w}=U\cos \varphi ,\quad U_{b}=U\sin \varphi }$	(4)	Vergleich der Real- und Imaginärteile in Gl. (3)
${\displaystyle {\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=U_{w}I+{\text{j}}U_{b}I}$	(5)	Gl. (1) mit ${\displaystyle {\underline {I}}^{*}}$ multipliziert
${\displaystyle {\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi }$	(6)	Gln. (4) in Gl. (5) verwendet
${\displaystyle P=UI\cos \varphi ,\quad Q=UI\sin \varphi }$	(7)	Die vorab bekannten Gln. für Wirk- und Blindleistung
${\displaystyle {\underline {S}}:={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=P+{\text{j}}Q}$	(8)	Gln. (7) für (6) benutzt und Defiition der komplexen Scheinleistung

Zusammenfassung

${\displaystyle {\underline {S}}={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=P+{\text{j}}Q=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi =U_{w}I+{\text{j}}U_{b}I}$

${\displaystyle {\underline {I}}=I_{w}{\frac {\underline {U}}{U}}+I_{b}{\frac {\underline {U}}{{\text{j}}U}}}$	(1)	Orthogonale Zerlegung von ${\displaystyle {\underline {I}}}$ nach ${\displaystyle {\underline {U}}}$
${\displaystyle I{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=I_{w}+{\text{j}}I_{b}}$	(2)	Gl. (1) mit ${\displaystyle {\frac {U}{\underline {U}}}}$ multipliziert und Identität ${\displaystyle {\frac {U}{\underline {U}}}{\underline {I}}=I{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }}$ benutzt
${\displaystyle I\cos \varphi +{\text{j}}I\sin \varphi =I_{w}+{\text{j}}I_{b}}$	(3)	Eulersche Formel auf Linksterm von Gl. (2) angewendet
${\displaystyle I_{w}=I\cos \varphi ,\quad I_{b}=I\sin \varphi }$	(4)	Vergleich der Real- und Imaginärteile in Gl. (3)
${\displaystyle {\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI_{w}+{\text{j}}UI_{b}}$	(5)	Gl. (1) konjugiert und mit ${\displaystyle {\underline {U}}}$ multipliziert
${\displaystyle {\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi }$	(6)	Gln. (4) in Gl. (5) verwendet
${\displaystyle P=UI\cos \varphi ,\quad Q=UI\sin \varphi }$	(7)	Die vorab bekannten Gln. für Wirk- und Blindleistung
${\displaystyle {\underline {S}}:={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=P+{\text{j}}Q}$	(8)	Gln. (7) für (6) benutzt und Defiition der komplexen Scheinleistung

Zusammenfassung

${\displaystyle {\underline {S}}={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=P+{\text{j}}Q=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi =UI_{w}+{\text{j}}UI_{b}}$

Die Gleichungen dieses Artikels gelten in der angegebenen Form in beiden Zählpfeilsystemen. Die drei Definitionsvarianten - in der Reihenfolge zunehmenden Herleitungsaufwands angeordnet - führen zum gleichen Ergebnis ${\displaystyle {\underline {S}}={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}}$.

• Lehrbücher über Grundlagen der Elektrotechnik

1. ↑ Voltampere, Einheitenzeichen VA: Besondere Bezeichnung der Einheit für die Scheinleistung
2. ↑ DKE-IEV-Woerterbuch Nr. 101-14-34: Sinusförmige Größe